Precálculo Ejemplos

$x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{2}{3}} - 28 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reescribe $x^{\frac{4}{3}}$ como ${(x^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{2} + 3 x^{\frac{2}{3}} - 28 = 0$

Paso 1.2

Sea $u = x^{\frac{2}{3}}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{\frac{2}{3}}$ .

$u^{2} + 3 u - 28 = 0$

Paso 1.3

Factoriza $u^{2} + 3 u - 28$ con el método AC.

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Paso 1.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 28$ y cuya suma es $3$ .

$- 4, 7$

Paso 1.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 4) (u + 7) = 0$

Paso 1.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{2}{3}}$ .

$(x^{\frac{2}{3}} - 4) (x^{\frac{2}{3}} + 7) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} - 4 = 0$

$x^{\frac{2}{3}} + 7 = 0$

Paso 3

Establece $x^{\frac{2}{3}} - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $x^{\frac{2}{3}} - 4$ igual a $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} - 4 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x^{\frac{2}{3}} - 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{\frac{2}{3}} = 4$

Paso 3.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{3}{2}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.3.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 3.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 3.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.3.1.1.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.3.1.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.3.1.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.3.1.1.2

Simplifica.

$x = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.2.1

Simplifica $\pm 4^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 3.2.3.2.1.1

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.3.2.1.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.3.2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Paso 3.2.3.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$x = \pm 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Paso 3.2.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm 2^{3}$

Paso 3.2.3.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$x = \pm 8$

Paso 3.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 8$

Paso 3.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 8$

Paso 3.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 8, - 8$

Paso 4

Establece $x^{\frac{2}{3}} + 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x^{\frac{2}{3}} + 7$ igual a $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} + 7 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x^{\frac{2}{3}} + 7 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{\frac{2}{3}} = - 7$

Paso 4.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{3}{2}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(- 7)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.3.1

Simplifica ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 4.2.3.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(- 7)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.3.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(- 7)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(- 7)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.3.1.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.3.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(- 7)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.3.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = \pm {(- 7)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.3.1.2

Simplifica.

$x = \pm {(- 7)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = {(- 7)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - {(- 7)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = {(- 7)}^{\frac{3}{2}}, - {(- 7)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{\frac{2}{3}} - 4) (x^{\frac{2}{3}} + 7) = 0$ verdadera.

$x = 8, - 8, {(- 7)}^{\frac{3}{2}}, - {(- 7)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 6

Excluye las soluciones que no hagan que $x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{2}{3}} - 28 = 0$ sea verdadera.

$x = 8, - 8$