Precálculo Ejemplos

$e^{n} = 3^{n + 2}$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{n}) = \ln (3^{n + 2})$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Expande $\ln (e^{n})$ ; para ello, mueve $n$ fuera del logaritmo.

$n \ln (e) = \ln (3^{n + 2})$

Paso 2.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$n \cdot 1 = \ln (3^{n + 2})$

Paso 2.3

Multiplica $n$ por $1$ .

$n = \ln (3^{n + 2})$

Paso 3

Expande $\ln (3^{n + 2})$ ; para ello, mueve $n + 2$ fuera del logaritmo.

$n = (n + 2) \ln (3)$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$n = n \ln (3) + 2 \ln (3)$

Paso 5

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$- n \ln (3) - 2 \ln (3) = - n$

Paso 6

Suma $n$ a ambos lados de la ecuación.

$- n \ln (3) - 2 \ln (3) + n = 0$

Paso 7

Suma $2 \ln (3)$ a ambos lados de la ecuación.

$- n \ln (3) + n = 2 \ln (3)$

Paso 8

Factoriza $n$ de $- n \ln (3) + n$ .

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Paso 8.1

Factoriza $n$ de $- n \ln (3)$ .

$n (- 1 \ln (3)) + n = 2 \ln (3)$

Paso 8.2

Eleva $n$ a la potencia de $1$ .

$n (- 1 \ln (3)) + n = 2 \ln (3)$

Paso 8.3

Factoriza $n$ de $n^{1}$ .

$n (- 1 \ln (3)) + n \cdot 1 = 2 \ln (3)$

Paso 8.4

Factoriza $n$ de $n (- 1 \ln (3)) + n \cdot 1$ .

$n (- 1 \ln (3) + 1) = 2 \ln (3)$

Paso 9

Reescribe $- 1 \ln (3)$ como $- \ln (3)$ .

$n (- \ln (3) + 1) = 2 \ln (3)$

Paso 10

Divide cada término en $n (- \ln (3) + 1) = 2 \ln (3)$ por $- \ln (3) + 1$ y simplifica.

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Paso 10.1

Divide cada término en $n (- \ln (3) + 1) = 2 \ln (3)$ por $- \ln (3) + 1$ .

$\frac{n (- \ln (3) + 1)}{- \ln (3) + 1} = \frac{2 \ln (3)}{- \ln (3) + 1}$

Paso 10.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.1

Cancela el factor común de $- \ln (3) + 1$ .

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Paso 10.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{n (- \ln (3) + 1)}{- \ln (3) + 1} = \frac{2 \ln (3)}{- \ln (3) + 1}$

Paso 10.2.1.2

Divide $n$ por $1$ .

$n = \frac{2 \ln (3)}{- \ln (3) + 1}$

Paso 10.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.3.1

Factoriza $- 1$ de $- \ln (3)$ .

$n = \frac{2 \ln (3)}{- \ln (3) + 1}$

Paso 10.3.2

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$n = \frac{2 \ln (3)}{- \ln (3) - 1 (- 1)}$

Paso 10.3.3

Factoriza $- 1$ de $- \ln (3) - 1 (- 1)$ .

$n = \frac{2 \ln (3)}{- (\ln (3) - 1)}$

Paso 10.3.4

Reescribe los negativos.

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Paso 10.3.4.1

Reescribe $- (\ln (3) - 1)$ como $- 1 (\ln (3) - 1)$ .

$n = \frac{2 \ln (3)}{- 1 (\ln (3) - 1)}$

Paso 10.3.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$n = - \frac{2 \ln (3)}{\ln (3) - 1}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$n = - \frac{2 \ln (3)}{\ln (3) - 1}$

Forma decimal:

$n = - 22.28144795 \dots$