Precálculo Ejemplos

$243^{k + 2} \cdot 9^{2 k - 1} = 9$

Paso 1

Reescribe $243$ como $3^{5}$ .

${(3^{5})}^{k + 2} \cdot 9^{2 k - 1} = 9$

Paso 2

Multiplica los exponentes en ${(3^{5})}^{k + 2}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{5 (k + 2)} \cdot 9^{2 k - 1} = 9$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3^{5 k + 5 \cdot 2} \cdot 9^{2 k - 1} = 9$

Paso 2.3

Multiplica $5$ por $2$ .

$3^{5 k + 10} \cdot 9^{2 k - 1} = 9$

Paso 3

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$3^{5 k + 10} \cdot {(3^{2})}^{2 k - 1} = 9$

Paso 4

Multiplica los exponentes en ${(3^{2})}^{2 k - 1}$ .

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Paso 4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{5 k + 10} \cdot 3^{2 (2 k - 1)} = 9$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3^{5 k + 10} \cdot 3^{2 (2 k) + 2 \cdot - 1} = 9$

Paso 4.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$3^{5 k + 10} \cdot 3^{4 k + 2 \cdot - 1} = 9$

Paso 4.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$3^{5 k + 10} \cdot 3^{4 k - 2} = 9$

Paso 5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3^{5 k + 10 + 4 k - 2} = 9$

Paso 6

Suma $5 k$ y $4 k$ .

$3^{9 k + 10 - 2} = 9$

Paso 7

Resta $2$ de $10$ .

$3^{9 k + 8} = 9$

Paso 8

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$3^{9 k + 8} = 3^{2}$

Paso 9

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$9 k + 8 = 2$

Paso 10

Resuelve $k$

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Paso 10.1

Mueve todos los términos que no contengan $k$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 10.1.1

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$9 k = 2 - 8$

Paso 10.1.2

Resta $8$ de $2$ .

$9 k = - 6$

Paso 10.2

Divide cada término en $9 k = - 6$ por $9$ y simplifica.

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Paso 10.2.1

Divide cada término en $9 k = - 6$ por $9$ .

$\frac{9 k}{9} = \frac{- 6}{9}$

Paso 10.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 10.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 k}{9} = \frac{- 6}{9}$

Paso 10.2.2.1.2

Divide $k$ por $1$ .

$k = \frac{- 6}{9}$

Paso 10.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.2.3.1

Cancela el factor común de $- 6$ y $9$ .

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Paso 10.2.3.1.1

Factoriza $3$ de $- 6$ .

$k = \frac{3 (- 2)}{9}$

Paso 10.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$k = \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 3}$

Paso 10.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$k = \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 3}$

Paso 10.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$k = \frac{- 2}{3}$

Paso 10.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$k = - \frac{2}{3}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$k = - \frac{2}{3}$

Forma decimal:

$k = - 0.\overline{6}$