Precálculo Ejemplos

$3 + \csc (x) = \frac{5}{3 - 2 \sin (x)}$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $\frac{5}{3 - 2 \sin (x)}$ de ambos lados de la ecuación.

$\csc (x) - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} = - 3$

Paso 1.2

Reescribe $\csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} = - 3$

Paso 1.3

Para escribir $\frac{1}{\sin (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 - 2 \sin (x)}{3 - 2 \sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{3 - 2 \sin (x)}{3 - 2 \sin (x)} - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} = - 3$

Paso 1.4

Para escribir $- \frac{5}{3 - 2 \sin (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{3 - 2 \sin (x)}{3 - 2 \sin (x)} - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} = - 3$

Paso 1.5

Escribe cada expresión con un denominador común de $\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.5.1

Multiplica $\frac{1}{\sin (x)}$ por $\frac{3 - 2 \sin (x)}{3 - 2 \sin (x)}$ .

$\frac{3 - 2 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} = - 3$

Paso 1.5.2

Multiplica $\frac{5}{3 - 2 \sin (x)}$ por $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{3 - 2 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} - \frac{5 \sin (x)}{(3 - 2 \sin (x)) \sin (x)} = - 3$

Paso 1.5.3

Reordena los factores de $(3 - 2 \sin (x)) \sin (x)$ .

$\frac{3 - 2 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} - \frac{5 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$

Paso 1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 - 2 \sin (x) - 5 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$

Paso 1.7

Resta $5 \sin (x)$ de $- 2 \sin (x)$ .

$\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$\sin (x) (3 - 2 \sin (x)), 1$

Paso 2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$

Paso 3

Multiplica cada término en $\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$ por $\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$ por $\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$ .

$\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} (\sin (x) (3 - 2 \sin (x))) = - 3 (\sin (x) (3 - 2 \sin (x)))$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} (\sin (x) (3 - 2 \sin (x))) = - 3 (\sin (x) (3 - 2 \sin (x)))$

Paso 3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (\sin (x) (3 - 2 \sin (x)))$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 3.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (\sin (x) \cdot 3 + \sin (x) (- 2 \sin (x)))$

Paso 3.3.1.2

Reordena.

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Paso 3.3.1.2.1

Mueve $3$ a la izquierda de $\sin (x)$ .

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \cdot \sin (x) + \sin (x) (- 2 \sin (x)))$

Paso 3.3.1.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \cdot \sin (x) - 2 \sin (x) \sin (x))$

Paso 3.3.2

Multiplica $\sin (x)$ por $\sin (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.2.1

Mueve $\sin (x)$ .

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \sin (x) - 2 (\sin (x) \sin (x)))$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $\sin (x)$ por $\sin (x)$ .

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \sin (x) - 2 \sin^{2} (x))$

Paso 3.3.3

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 3.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \sin (x)) - 3 (- 2 \sin^{2} (x))$

Paso 3.3.3.2

Multiplica.

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Paso 3.3.3.2.1

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$3 - 7 \sin (x) = - 9 \sin (x) - 3 (- 2 \sin^{2} (x))$

Paso 3.3.3.2.2

Multiplica $- 2$ por $- 3$ .

$3 - 7 \sin (x) = - 9 \sin (x) + 6 \sin^{2} (x)$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.1

Como $\sin (x)$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$- 9 \sin (x) + 6 \sin^{2} (x) = 3 - 7 \sin (x)$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que contengan $\sin (x)$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Suma $7 \sin (x)$ a ambos lados de la ecuación.

$- 9 \sin (x) + 6 \sin^{2} (x) + 7 \sin (x) = 3$

Paso 4.2.2

Suma $- 9 \sin (x)$ y $7 \sin (x)$ .

$6 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) = 3$

Paso 4.3

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$6 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) - 3 = 0$

Paso 4.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.5

Sustituye los valores $a = 6$ , $b = - 2$ y $c = - 3$ en la fórmula cuadrática y resuelve $\sin (x)$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (6 \cdot - 3)}}{2 \cdot 6}$

Paso 4.6

Simplifica.

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Paso 4.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 6 \cdot - 3}}{2 \cdot 6}$

Paso 4.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 6 \cdot - 3$ .

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Paso 4.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $6$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 24 \cdot - 3}}{2 \cdot 6}$

Paso 4.6.1.2.2

Multiplica $- 24$ por $- 3$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 72}}{2 \cdot 6}$

Paso 4.6.1.3

Suma $4$ y $72$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 6}$

Paso 4.6.1.4

Reescribe $76$ como $2^{2} \cdot 19$ .

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Paso 4.6.1.4.1

Factoriza $4$ de $76$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 6}$

Paso 4.6.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 6}$

Paso 4.6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$\sin (x) = \frac{2 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 6}$

Paso 4.6.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm 2 \sqrt{19}}{12}$

Paso 4.6.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{19}}{12}$ .

$\sin (x) = \frac{1 \pm \sqrt{19}}{6}$

Paso 4.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{19}}{6}, \frac{1 - \sqrt{19}}{6}$

Paso 5

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{19}}{6}$

$\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{19}}{6}$

Paso 6

Resuelve $x$ en $\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{19}}{6}$ .

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Paso 6.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (\frac{1 + \sqrt{19}}{6})$

Paso 6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.1

Evalúa $\arcsin (\frac{1 + \sqrt{19}}{6})$ .

$x = 1.10430054$

Paso 6.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = (3.14159265) - 1.10430054$

Paso 6.4

Resuelve $x$

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Paso 6.4.1

Elimina los paréntesis.

$x = 3.14159265 - 1.10430054$

Paso 6.4.2

Elimina los paréntesis.

$x = (3.14159265) - 1.10430054$

Paso 6.4.3

Resta $1.10430054$ de $3.14159265$ .

$x = 2.0372921$

Paso 6.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 6.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 6.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 6.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 6.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 6.6

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 1.10430054 + 2 π n, 2.0372921 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

Resuelve $x$ en $\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{19}}{6}$ .

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Paso 7.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{19}}{6})$

Paso 7.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.1

Evalúa $\arcsin (\frac{1 - \sqrt{19}}{6})$ .

$x = - 0.59416431$

Paso 7.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = (3.14159265) + 0.59416431$

Paso 7.4

Resuelve $x$

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Paso 7.4.1

Elimina los paréntesis.

$x = 3.14159265 + 0.59416431$

Paso 7.4.2

Elimina los paréntesis.

$x = (3.14159265) + 0.59416431$

Paso 7.4.3

Suma $3.14159265$ y $0.59416431$ .

$x = 3.73575697$

Paso 7.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 7.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 7.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 7.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 7.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 7.6

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 7.6.1

Suma $2 π$ y $- 0.59416431$ para obtener el ángulo positivo.

$- 0.59416431 + 2 π$

Paso 7.6.2

Resta $0.59416431$ de $2 π$ .

$5.68902098$

Paso 7.6.3

Enumera los nuevos ángulos.

$x = 5.68902098$

Paso 7.7

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 3.73575697 + 2 π n, 5.68902098 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8

Enumera todas las soluciones.

$x = 1.10430054 + 2 π n, 2.0372921 + 2 π n, 3.73575697 + 2 π n, 5.68902098 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$