Precálculo Ejemplos

$2 \sin (\frac{x}{3}) + \sqrt{3} = 0$

Paso 1

Resta $\sqrt{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sin (\frac{x}{3}) = - \sqrt{3}$

Paso 2

Divide cada término en $2 \sin (\frac{x}{3}) = - \sqrt{3}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $2 \sin (\frac{x}{3}) = - \sqrt{3}$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (\frac{x}{3})}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sin (\frac{x}{3})}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.2.1.2

Divide $\sin (\frac{x}{3})$ por $1$ .

$\sin (\frac{x}{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sin (\frac{x}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$\frac{x}{3} = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

El valor exacto de $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ es $- \frac{π}{3}$ .

$\frac{x}{3} = - \frac{π}{3}$

Paso 5

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$x = - π$

Paso 6

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$\frac{x}{3} = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Paso 7

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 7.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$\frac{x}{3} = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Paso 7.2

El ángulo resultante de $\frac{4 π}{3}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$\frac{x}{3} = \frac{4 π}{3}$

Paso 7.3

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$x = 4 π$

Paso 8

Obtén el período de $\sin (\frac{x}{3})$ .

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Paso 8.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 8.2

Reemplaza $b$ con $\frac{1}{3}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

Paso 8.3

$\frac{1}{3}$ es aproximadamente $0.\overline{3}$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Paso 8.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \cdot 3$

Paso 8.5

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 π$

Paso 9

Suma $6 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 9.1

Suma $6 π$ y $- π$ para obtener el ángulo positivo.

$- π + 6 π$

Paso 9.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$5 π$

Paso 9.3

Enumera los nuevos ángulos.

$x = 5 π$

Paso 10

El período de la función $\sin (\frac{x}{3})$ es $6 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $6 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 4 π + 6 π n, 5 π + 6 π n$ , para cualquier número entero $n$