Precálculo Ejemplos

$9 (1 - \cos (x)) = \sin^{2} (x)$

Paso 1

Divide cada término en la ecuación por $\cos (x)$ .

$\frac{9 (1 - \cos (x))}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Paso 2

Reemplaza $\cos (x)$ con una expresión equivalente en el numerador.

$9 (1 - \cos (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Paso 3

Aplica la propiedad distributiva.

$(9 \cdot 1 + 9 (- \cos (x))) \cdot \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Paso 4

Multiplica.

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Paso 4.1

Multiplica $9$ por $1$ .

$(9 + 9 (- \cos (x))) \cdot \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Paso 4.2

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$(9 - 9 \cos (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Paso 5

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$(9 - 9 \cos (x)) \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$9 (\frac{1}{\cos (x)}) - 9 \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Paso 6.2

Combina $9$ y $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Paso 6.3

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 6.3.1

Factoriza $\cos (x)$ de $- 9 \cos (x)$ .

$\frac{9}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot (- 9 \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Paso 6.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{9}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot (- 9 \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Paso 6.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Paso 7

Simplifica cada término.

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Paso 7.1

Separa las fracciones.

$\frac{9}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - 9 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Paso 7.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\frac{9}{1} \cdot \sec (x) - 9 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Paso 7.3

Divide $9$ por $1$ .

$9 \sec (x) - 9 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Paso 8

Factoriza $\sin (x)$ de $\sin^{2} (x)$ .

$9 \sec (x) - 9 = \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 9

Separa las fracciones.

$9 \sec (x) - 9 = \frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 10

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$9 \sec (x) - 9 = \frac{\sin (x)}{1} \cdot \tan (x)$

Paso 11

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$9 \sec (x) - 9 = \sin (x) \tan (x)$

Paso 12

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 12.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$9 \frac{1}{\cos (x)} - 9 = \sin (x) \tan (x)$

Paso 12.1.2

Combina $9$ y $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \sin (x) \tan (x)$

Paso 13

Simplifica el lado derecho.

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Paso 13.1

Simplifica $\sin (x) \tan (x)$ .

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Paso 13.1.1

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 13.1.2

Multiplica $\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Paso 13.1.2.1

Combina $\sin (x)$ y $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 13.1.2.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 13.1.2.3

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}$

Paso 13.1.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

Paso 13.1.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Paso 14

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\frac{9}{\cos (x)} - 9) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Paso 15

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (x) \frac{9}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 9 = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Paso 16

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 16.1

Cancela el factor común.

$\cos (x) \frac{9}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 9 = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Paso 16.2

Reescribe la expresión.

$9 + \cos (x) \cdot - 9 = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Paso 17

Mueve $- 9$ a la izquierda de $\cos (x)$ .

$9 - 9 \cdot \cos (x) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Paso 18

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 18.1

Cancela el factor común.

$9 - 9 \cos (x) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Paso 18.2

Reescribe la expresión.

$9 - 9 \cos (x) = \sin^{2} (x)$

Paso 19

Resta $\sin^{2} (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$9 - 9 \cos (x) - \sin^{2} (x) = 0$

Paso 20

Reemplaza $\sin^{2} (x)$ con $1 - \cos^{2} (x)$ .

$9 - 9 \cos (x) - (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

Paso 21

Resuelve $x$

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Paso 21.1

Sustituye $u$ por $\cos (x)$ .

$9 - 9 u - (1 - {(u)}^{2}) = 0$

Paso 21.2

Simplifica $9 - 9 u - (1 - u^{2})$ .

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Paso 21.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 21.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$9 - 9 u - 1 \cdot 1 - - u^{2} = 0$

Paso 21.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$9 - 9 u - 1 - - u^{2} = 0$

Paso 21.2.1.3

Multiplica $- - u^{2}$ .

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Paso 21.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$9 - 9 u - 1 + 1 u^{2} = 0$

Paso 21.2.1.3.2

Multiplica $u^{2}$ por $1$ .

$9 - 9 u - 1 + u^{2} = 0$

Paso 21.2.2

Resta $1$ de $9$ .

$- 9 u + 8 + u^{2} = 0$

Paso 21.3

Factoriza $- 9 u + 8 + u^{2}$ con el método AC.

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Paso 21.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $8$ y cuya suma es $- 9$ .

$- 8, - 1$

Paso 21.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 8) (u - 1) = 0$

Paso 21.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 8 = 0$

$u - 1 = 0$

Paso 21.5

Establece $u - 8$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 21.5.1

Establece $u - 8$ igual a $0$ .

$u - 8 = 0$

Paso 21.5.2

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 8$

Paso 21.6

Establece $u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 21.6.1

Establece $u - 1$ igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Paso 21.6.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 1$

Paso 21.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u - 8) (u - 1) = 0$ verdadera.

$u = 8, 1$

Paso 21.8

Sustituye $\cos (x)$ por $u$ .

$\cos (x) = 8, 1$

Paso 21.9

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\cos (x) = 8$

$\cos (x) = 1$

Paso 21.10

Resuelve $x$ en $\cos (x) = 8$ .

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Paso 21.10.1

El rango del coseno es $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $8$ no está dentro de este rango, no hay solución.

No hay solución

Paso 21.11

Resuelve $x$ en $\cos (x) = 1$ .

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Paso 21.11.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (1)$

Paso 21.11.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 21.11.2.1

El valor exacto de $\arccos (1)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 21.11.3

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - 0$

Paso 21.11.4

Resta $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Paso 21.11.5

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 21.11.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 21.11.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 21.11.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 21.11.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 21.11.6

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 21.12

Enumera todas las soluciones.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 21.13

Consolida las respuestas.

$x = 2 π n$ , para cualquier número entero $n$