Precálculo Ejemplos

$\cos (\frac{x}{3} - \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$

Paso 1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$\frac{x}{3} - \frac{π}{4} = \arccos (\frac{1}{2})$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1

El valor exacto de $\arccos (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{3}$ .

$\frac{x}{3} - \frac{π}{4} = \frac{π}{3}$

Paso 3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Suma $\frac{π}{4}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{x}{3} = \frac{π}{3} + \frac{π}{4}$

Paso 3.2

Para escribir $\frac{π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 3.3

Para escribir $\frac{π}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 3.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $12$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.4.1

Multiplica $\frac{π}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 3.4.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π \cdot 4}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 3.4.3

Multiplica $\frac{π}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Paso 3.4.4

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{12}$

Paso 3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x}{3} = \frac{π \cdot 4 + π \cdot 3}{12}$

Paso 3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{x}{3} = \frac{4 \cdot π + π \cdot 3}{12}$

Paso 3.6.2

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{x}{3} = \frac{4 π + 3 \cdot π}{12}$

Paso 3.6.3

Suma $4 π$ y $3 π$ .

$\frac{x}{3} = \frac{7 π}{12}$

Paso 4

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{7 π}{12}$

Paso 5

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.1.1.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{7 π}{12}$

Paso 5.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 3 \frac{7 π}{12}$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.1.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$x = 3 \frac{7 π}{3 (4)}$

Paso 5.2.1.2

Cancela el factor común.

$x = 3 \frac{7 π}{3 \cdot 4}$

Paso 5.2.1.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{7 π}{4}$

Paso 6

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$\frac{x}{3} - \frac{π}{4} = 2 π - \frac{π}{3}$

Paso 7

Resuelve $x$

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Paso 7.1

Simplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Paso 7.1.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{3} - \frac{π}{4} = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 7.1.2

Combina fracciones.

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Paso 7.1.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{3} - \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 7.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x}{3} - \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 7.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{x}{3} - \frac{π}{4} = \frac{6 π - π}{3}$

Paso 7.1.3.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$\frac{x}{3} - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{3}$

Paso 7.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.2.1

Suma $\frac{π}{4}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{x}{3} = \frac{5 π}{3} + \frac{π}{4}$

Paso 7.2.2

Para escribir $\frac{5 π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 7.2.3

Para escribir $\frac{π}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 7.2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $12$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.2.4.1

Multiplica $\frac{5 π}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{5 π \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 7.2.4.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{x}{3} = \frac{5 π \cdot 4}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 7.2.4.3

Multiplica $\frac{π}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{5 π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Paso 7.2.4.4

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{x}{3} = \frac{5 π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{12}$

Paso 7.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x}{3} = \frac{5 π \cdot 4 + π \cdot 3}{12}$

Paso 7.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.6.1

Multiplica $4$ por $5$ .

$\frac{x}{3} = \frac{20 π + π \cdot 3}{12}$

Paso 7.2.6.2

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{x}{3} = \frac{20 π + 3 \cdot π}{12}$

Paso 7.2.6.3

Suma $20 π$ y $3 π$ .

$\frac{x}{3} = \frac{23 π}{12}$

Paso 7.3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{23 π}{12}$

Paso 7.4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 7.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.4.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{23 π}{12}$

Paso 7.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 3 \frac{23 π}{12}$

Paso 7.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.4.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.4.2.1.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$x = 3 \frac{23 π}{3 (4)}$

Paso 7.4.2.1.2

Cancela el factor común.

$x = 3 \frac{23 π}{3 \cdot 4}$

Paso 7.4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{23 π}{4}$

Paso 8

Obtén el período de $\cos (\frac{x}{3} - \frac{π}{4})$ .

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Paso 8.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 8.2

Reemplaza $b$ con $\frac{1}{3}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

Paso 8.3

$\frac{1}{3}$ es aproximadamente $0.\overline{3}$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Paso 8.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \cdot 3$

Paso 8.5

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 π$

Paso 9

El período de la función $\cos (\frac{x}{3} - \frac{π}{4})$ es $6 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $6 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{7 π}{4} + 6 π n, \frac{23 π}{4} + 6 π n$ , para cualquier número entero $n$