Precálculo Ejemplos

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Paso 1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Paso 2

Simplifica

$\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.1

Reescribe

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ como

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Paso 2.2

Cualquier raíz de

$1$ es

$1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Paso 2.3

Multiplica

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ por

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 2.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.4.1

Multiplica

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ por

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 2.4.2

Eleva

$\sqrt{2}$ a la potencia de

$1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 2.4.3

Eleva

$\sqrt{2}$ a la potencia de

$1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 2.4.4

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 2.4.5

Suma

$1$ y

$1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 2.4.6

Reescribe

${\sqrt{2}}^{2}$ como

$2$ .

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Paso 2.4.6.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

$\sqrt{2}$ como

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.4.6.3

Combina

$\frac{1}{2}$ y

$2$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.4.6.4

Cancela el factor común de

$2$ .

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Paso 2.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 2.4.6.5

Evalúa el exponente.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.1

Primero, usa el valor positivo de

$\pm$ para obtener la primera solución.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 3.2

Luego, usa el valor negativo de

$\pm$ para obtener la segunda solución.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 4

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de

$x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 5

Resuelve

$x$ en

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 5.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer

$x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

El valor exacto de

$\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ es

$\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Paso 5.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de

$π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{4}$

Paso 5.4

Simplifica

$π - \frac{π}{4}$ .

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Paso 5.4.1

Para escribir

$π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 5.4.2

Combina fracciones.

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Paso 5.4.2.1

Combina

$π$ y

$\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 5.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Paso 5.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.3.1

Mueve

$4$ a la izquierda de

$π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Paso 5.4.3.2

Resta

$π$ de

$4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 5.5

Obtén el período de

$\sin (x)$ .

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Paso 5.5.1

El período de la función puede calcularse mediante

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 5.5.2

Reemplaza

$b$ con

$1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 5.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre

$0$ y

$1$ es

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 5.5.4

Divide

$2 π$ por

$1$ .

$2 π$

Paso 5.6

El período de la función

$\sin (x)$ es

$2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada

$2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero

$n$

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero

$n$

Paso 6

Resuelve

$x$ en

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 6.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer

$x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.1

El valor exacto de

$\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ es

$- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Paso 6.3

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de

$2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a

$π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Paso 6.4

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 6.4.1

Resta

$2 π$ de

$2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Paso 6.4.2

El ángulo resultante de

$\frac{5 π}{4}$ es positivo, menor que

$2 π$ y coterminal con

$2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Paso 6.5

Obtén el período de

$\sin (x)$ .

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Paso 6.5.1

El período de la función puede calcularse mediante

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 6.5.2

Reemplaza

$b$ con

$1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 6.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre

$0$ y

$1$ es

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 6.5.4

Divide

$2 π$ por

$1$ .

$2 π$

Paso 6.6

Suma

$2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 6.6.1

Suma

$2 π$ y

$- \frac{π}{4}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Paso 6.6.2

Para escribir

$2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 6.6.3

Combina fracciones.

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Paso 6.6.3.1

Combina

$2 π$ y

$\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 6.6.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Paso 6.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 6.6.4.1

Multiplica

$4$ por

$2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Paso 6.6.4.2

Resta

$π$ de

$8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Paso 6.6.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{7 π}{4}$

Paso 6.7

El período de la función

$\sin (x)$ es

$2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada

$2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero

$n$

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero

$n$

Paso 7

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero

$n$

Paso 8

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero

$n$