Precálculo Ejemplos

$(\tan (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Simplifica $(\tan (x) + 1) (\cos (x) - 1)$ .

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Paso 1.1.1

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Paso 1.1.2

Expande $(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1) (\cos (x) - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\cos (x) - 1) + 1 (\cos (x) - 1) = 0$

Paso 1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 (\cos (x) - 1) = 0$

Paso 1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Paso 1.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.1

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 1.1.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Paso 1.1.3.1.2

Reescribe la expresión.

$\sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Paso 1.1.3.2

Combina $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ y $- 1$ .

$\sin (x) + \frac{\sin (x) \cdot - 1}{\cos (x)} + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Paso 1.1.3.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\sin (x)$ .

$\sin (x) + \frac{- 1 \cdot \sin (x)}{\cos (x)} + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Paso 1.1.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Paso 1.1.3.5

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$\sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Paso 1.1.3.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) - 1 = 0$

Paso 1.1.4

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\sin (x) - \tan (x) + \cos (x) - 1 = 0$

Paso 2

Divide cada término en la ecuación por $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 3

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{- \tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 4

Separa las fracciones.

$\tan (x) + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 5

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\tan (x) + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 6

Reescribe $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ como un producto.

$\tan (x) + \frac{- 1}{1} \cdot (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 7

Combina fracciones.

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\tan (x) + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 7.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$\tan (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 8

Simplifica el denominador.

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Paso 8.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\tan (x) - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 8.2

Suma $1$ y $1$ .

$\tan (x) - \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 9

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\tan (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 10

Separa las fracciones.

$\tan (x) - (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 11

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\tan (x) - (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \tan (x)) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 12

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 13

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 13.1

Cancela el factor común.

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 13.2

Reescribe la expresión.

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 14

Separa las fracciones.

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 15

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 + \frac{- 1}{1} \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 16

Divide $- 1$ por $1$ .

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 17

Separa las fracciones.

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 18

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Paso 19

Divide $0$ por $1$ .

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = 0 \sec (x)$

Paso 20

Multiplica $0$ por $\sec (x)$ .

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = 0$

Paso 21

Factoriza $\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x)$ .

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Paso 21.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 21.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = 0$

Paso 21.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\tan (x) \cdot (1 - \sec (x)) + 1 (1 - \sec (x)) = 0$

Paso 21.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $1 - \sec (x)$ .

$(1 - \sec (x)) (\tan (x) + 1) = 0$

Paso 22

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$1 - \sec (x) = 0$

$\tan (x) + 1 = 0$

Paso 23

Establece $1 - \sec (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 23.1

Establece $1 - \sec (x)$ igual a $0$ .

$1 - \sec (x) = 0$

Paso 23.2

Resuelve $1 - \sec (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 23.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \sec (x) = - 1$

Paso 23.2.2

Divide cada término en $- \sec (x) = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 23.2.2.1

Divide cada término en $- \sec (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \sec (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 23.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 23.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\sec (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 23.2.2.2.2

Divide $\sec (x)$ por $1$ .

$\sec (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 23.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 23.2.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$\sec (x) = 1$

Paso 23.2.3

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la secante.

$x = arcsec (1)$

Paso 23.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 23.2.4.1

El valor exacto de $arcsec (1)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 23.2.5

La secante es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - 0$

Paso 23.2.6

Resta $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Paso 23.2.7

Obtén el período de $\sec (x)$ .

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Paso 23.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 23.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 23.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 23.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 23.2.8

El período de la función $\sec (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 24

Establece $\tan (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 24.1

Establece $\tan (x) + 1$ igual a $0$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

Paso 24.2

Resuelve $\tan (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 24.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\tan (x) = - 1$

Paso 24.2.2

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Paso 24.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 24.2.3.1

El valor exacto de $\arctan (- 1)$ es $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Paso 24.2.4

La función tangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Paso 24.2.5

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 24.2.5.1

Suma $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Paso 24.2.5.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{4}$ es positivo y coterminal con $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 24.2.6

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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Paso 24.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 24.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 24.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 24.2.6.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 24.2.7

Suma $π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 24.2.7.1

Suma $π$ y $- \frac{π}{4}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Paso 24.2.7.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 24.2.7.3

Combina fracciones.

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Paso 24.2.7.3.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 24.2.7.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Paso 24.2.7.4

Simplifica el numerador.

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Paso 24.2.7.4.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Paso 24.2.7.4.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Paso 24.2.7.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 24.2.8

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 25

La solución final comprende todos los valores que hacen $(1 - \sec (x)) (\tan (x) + 1) = 0$ verdadera.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 26

Consolida $2 π n$ y $2 π + 2 π n$ en $2 π n$ .

$x = 2 π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$