Precálculo Ejemplos

$\sin (x) + 3 \cos (x) = 2$

Paso 1

Usa la identidad para resolver la ecuación. En esta identidad, $θ$ representa el ángulo creado al trazar el punto $(a, b)$ en una gráfica y, por lo tanto, se puede obtener con $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ donde $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ y $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Paso 2

Establece la ecuación para obtener el valor de $θ$ .

$\tan^{-1} (\frac{3}{1})$

Paso 3

Resta la inversa de la tangente para resolver la ecuación en $θ$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Divide $3$ por $1$ .

$θ = \tan^{-1} (3)$

Paso 3.2

Evalúa $\tan^{-1} (3)$ .

$θ = 1.24904577$

Paso 4

Resuelve para obtener el valor de $R$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$R = \sqrt{1 + {(3)}^{2}}$

Paso 4.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$R = \sqrt{1 + 9}$

Paso 4.3

Suma $1$ y $9$ .

$R = \sqrt{10}$

Paso 5

Sustituye los valores conocidos en la ecuación.

$(\sqrt{10}) \sin (x + 1.24904577) = 2$

Paso 6

Divide cada término en $\sqrt{10} \sin (x + 1.24904577) = 2$ por $\sqrt{10}$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Divide cada término en $\sqrt{10} \sin (x + 1.24904577) = 2$ por $\sqrt{10}$ .

$\frac{\sqrt{10} \sin (x + 1.24904577)}{\sqrt{10}} = \frac{2}{\sqrt{10}}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $\sqrt{10}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{10} \sin (x + 1.24904577)}{\sqrt{10}} = \frac{2}{\sqrt{10}}$

Paso 6.2.1.2

Divide $\sin (x + 1.24904577)$ por $1$ .

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2}{\sqrt{10}}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{10}}$ por $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Paso 6.3.2

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{10}}$ por $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Paso 6.3.2.2

Eleva $\sqrt{10}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

Paso 6.3.2.3

Eleva $\sqrt{10}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

Paso 6.3.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Paso 6.3.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Paso 6.3.2.6

Reescribe ${\sqrt{10}}^{2}$ como $10$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{10}$ como $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 6.3.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 6.3.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.3.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.3.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{10^{1}}$

Paso 6.3.2.6.5

Evalúa el exponente.

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{10}$

Paso 6.3.3

Cancela el factor común de $2$ y $10$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{10}$ .

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 (\sqrt{10})}{10}$

Paso 6.3.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{2 \cdot 5}$

Paso 6.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{2 \cdot 5}$

Paso 6.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{\sqrt{10}}{5}$

Paso 7

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x + 1.24904577 = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{10}}{5})$

Paso 8

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Evalúa $\sin^{-1} (\frac{\sqrt{10}}{5})$ .

$x + 1.24904577 = 0.6847192$

Paso 9

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Resta $1.24904577$ de ambos lados de la ecuación.

$x = 0.6847192 - 1.24904577$

Paso 9.2

Resta $1.24904577$ de $0.6847192$ .

$x = - 0.56432656$

Paso 10

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x + 1.24904577 = (3.14159265) - 0.6847192$

Paso 11

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Resta $0.6847192$ de $3.14159265$ .

$x + 1.24904577 = 2.45687345$

Paso 11.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1

Resta $1.24904577$ de ambos lados de la ecuación.

$x = 2.45687345 - 1.24904577$

Paso 11.2.2

Resta $1.24904577$ de $2.45687345$ .

$x = 1.20782767$

Paso 12

Obtén el período de $\sin (x + 1.24904577)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 12.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 12.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 12.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 13

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Suma $2 π$ y $- 0.56432656$ para obtener el ángulo positivo.

$- 0.56432656 + 2 π$

Paso 13.2

Resta $0.56432656$ de $2 π$ .

$5.71885873$

Paso 13.3

Enumera los nuevos ángulos.

$x = 5.71885873$

Paso 14

El período de la función $\sin (x + 1.24904577)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 1.20782767 + 2 π n, 5.71885873 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$