Precálculo Ejemplos

$\sin (x) \cos (3 x) + \cos (x) \sin (3 x) = 0$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Usa la razón del ángulo triple para transformar $\cos (3 x)$ a $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ .

$\sin (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) + \cos (x) \sin (3 x) = 0$

Paso 1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin (x) (4 \cos^{3} (x)) + \sin (x) (- 3 \cos (x)) + \cos (x) \sin (3 x) = 0$

Paso 1.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 \sin (x) \cos^{3} (x) + \sin (x) (- 3 \cos (x)) + \cos (x) \sin (3 x) = 0$

Paso 1.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 3 \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (3 x) = 0$

Paso 1.1.5

Aplica la razón del ángulo triple sinusoidal.

$4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 3 \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x)) = 0$

Paso 1.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 3 \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + \cos (x) (3 \sin (x)) = 0$

Paso 1.1.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 3 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos (x) \sin^{3} (x) + \cos (x) (3 \sin (x)) = 0$

Paso 1.1.8

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 3 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos (x) \sin^{3} (x) + 3 \cos (x) \sin (x) = 0$

Paso 1.2

Combina los términos opuestos en $4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 3 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos (x) \sin^{3} (x) + 3 \cos (x) \sin (x)$ .

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Paso 1.2.1

Reordena los factores en los términos $- 3 \sin (x) \cos (x)$ y $3 \cos (x) \sin (x)$ .

$4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 3 \cos (x) \sin (x) - 4 \cos (x) \sin^{3} (x) + 3 \cos (x) \sin (x) = 0$

Paso 1.2.2

Suma $- 3 \cos (x) \sin (x)$ y $3 \cos (x) \sin (x)$ .

$4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 4 \cos (x) \sin^{3} (x) + 0 = 0$

Paso 1.2.3

Suma $4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 4 \cos (x) \sin^{3} (x)$ y $0$ .

$4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 4 \cos (x) \sin^{3} (x) = 0$

Paso 2

Factoriza $4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 4 \cos (x) \sin^{3} (x)$ .

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Paso 2.1

Factoriza $4 \sin (x) \cos (x)$ de $4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 4 \cos (x) \sin^{3} (x)$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $4 \sin (x) \cos (x)$ de $4 \sin (x) \cos^{3} (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) \sin^{3} (x) = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $4 \sin (x) \cos (x)$ de $- 4 \cos (x) \sin^{3} (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) \cos^{2} (x) + 4 \sin (x) \cos (x) (- 1 \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza $4 \sin (x) \cos (x)$ de $4 \sin (x) \cos (x) \cos^{2} (x) + 4 \sin (x) \cos (x) (- 1 \sin^{2} (x))$ .

$4 \sin (x) \cos (x) (\cos^{2} (x) - 1 \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \cos (x)$ y $b = \sin (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))) = 0$

Paso 2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$4 \sin (x) \cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) = 0$

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Paso 4

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Paso 4.2

Resuelve $\sin (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (0)$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 4.2.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - 0$

Paso 4.2.4

Resta $0$ de $π$ .

$x = π$

Paso 4.2.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 4.2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 4.2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 4.2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 4.2.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 4.2.6

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5

Establece $\cos (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $\cos (x)$ igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Paso 5.2

Resuelve $\cos (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (0)$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 5.2.3

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 5.2.4

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 5.2.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 5.2.4.2

Combina fracciones.

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Paso 5.2.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 5.2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 5.2.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.4.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 5.2.4.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 5.2.5

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 5.2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 5.2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 5.2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 5.2.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 5.2.6

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6

Establece $\cos (x) + \sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $\cos (x) + \sin (x)$ igual a $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Paso 6.2

Resuelve $\cos (x) + \sin (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Divide cada término en la ecuación por $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 6.2.2

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 6.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 6.2.2.2

Reescribe la expresión.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 6.2.3

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 6.2.4

Separa las fracciones.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 6.2.5

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Paso 6.2.6

Divide $0$ por $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

Paso 6.2.7

Multiplica $0$ por $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

Paso 6.2.8

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\tan (x) = - 1$

Paso 6.2.9

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Paso 6.2.10

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.10.1

El valor exacto de $\arctan (- 1)$ es $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Paso 6.2.11

La función tangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Paso 6.2.12

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 6.2.12.1

Suma $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Paso 6.2.12.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{4}$ es positivo y coterminal con $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 6.2.13

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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Paso 6.2.13.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 6.2.13.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 6.2.13.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 6.2.13.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 6.2.14

Suma $π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 6.2.14.1

Suma $π$ y $- \frac{π}{4}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Paso 6.2.14.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 6.2.14.3

Combina fracciones.

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Paso 6.2.14.3.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 6.2.14.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Paso 6.2.14.4

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.14.4.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Paso 6.2.14.4.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Paso 6.2.14.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 6.2.15

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

Establece $\cos (x) - \sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $\cos (x) - \sin (x)$ igual a $0$ .

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Paso 7.2

Resuelve $\cos (x) - \sin (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 7.2.1

Divide cada término en la ecuación por $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 7.2.2

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 7.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 7.2.2.2

Reescribe la expresión.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 7.2.3

Separa las fracciones.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 7.2.4

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 7.2.5

Divide $- 1$ por $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 7.2.6

Separa las fracciones.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 7.2.7

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Paso 7.2.8

Divide $0$ por $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Paso 7.2.9

Multiplica $0$ por $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Paso 7.2.10

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \tan (x) = - 1$

Paso 7.2.11

Divide cada término en $- \tan (x) = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 7.2.11.1

Divide cada término en $- \tan (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 7.2.11.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.11.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 7.2.11.2.2

Divide $\tan (x)$ por $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 7.2.11.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.11.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Paso 7.2.12

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (1)$

Paso 7.2.13

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.13.1

El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Paso 7.2.14

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Paso 7.2.15

Simplifica $π + \frac{π}{4}$ .

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Paso 7.2.15.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 7.2.15.2

Combina fracciones.

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Paso 7.2.15.2.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 7.2.15.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Paso 7.2.15.3

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.15.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Paso 7.2.15.3.2

Suma $4 π$ y $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Paso 7.2.16

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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Paso 7.2.16.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 7.2.16.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 7.2.16.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 7.2.16.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 7.2.17

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 \sin (x) \cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$ verdadera.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9

Consolida las respuestas.

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Paso 9.1

Consolida $2 π n$ y $π + 2 π n$ en $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9.2

Consolida $\frac{π}{2} + 2 π n$ y $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ en $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = π n, \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9.3

Consolida $π n$ y $\frac{π}{2} + π n$ en $\frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9.4

Consolida $\frac{3 π}{4} + π n$ y $\frac{π}{4} + π n$ en $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9.5

Consolida $\frac{π n}{2}$ y $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ en $\frac{π n}{4}$ .

$x = \frac{π n}{4}, \frac{5 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9.6

Consolida $\frac{π n}{4}$ y $\frac{5 π}{4} + π n$ en $\frac{π n}{4}$ .

$x = \frac{π n}{4}$ , para cualquier número entero $n$