Precálculo Ejemplos

$\tan (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$

Paso 1

Divide cada término en $\tan (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$ por $\tan (\frac{x}{2})$ y simplifica.

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Paso 1.1

Divide cada término en $\tan (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$ por $\tan (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\tan (\frac{x}{2})}{\tan (\frac{x}{2})} = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\tan (\frac{x}{2})}$

Paso 1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común de $\tan (\frac{x}{2})$ .

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Paso 1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\tan (\frac{x}{2})}{\tan (\frac{x}{2})} = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\tan (\frac{x}{2})}$

Paso 1.2.1.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\tan (\frac{x}{2})}$

Paso 1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.1

Reescribe $\tan (\frac{x}{2})$ en términos de senos y cosenos.

$1 = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}}$

Paso 1.3.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$ .

$1 = \sin (\frac{x}{2}) \frac{\cos (\frac{x}{2})}{\sin (\frac{x}{2})}$

Paso 1.3.3

Escribe $\sin (\frac{x}{2})$ como una fracción con el denominador $1$ .

$1 = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{1} \cdot \frac{\cos (\frac{x}{2})}{\sin (\frac{x}{2})}$

Paso 1.3.4

Cancela el factor común de $\sin (\frac{x}{2})$ .

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Paso 1.3.4.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{1} \cdot \frac{\cos (\frac{x}{2})}{\sin (\frac{x}{2})}$

Paso 1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$1 = \cos (\frac{x}{2})$

Paso 2

Reescribe la ecuación como $\cos (\frac{x}{2}) = 1$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 1$

Paso 3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$\frac{x}{2} = \arccos (1)$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

El valor exacto de $\arccos (1)$ es $0$ .

$\frac{x}{2} = 0$

Paso 5

Establece el numerador igual a cero.

$x = 0$

Paso 6

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$\frac{x}{2} = 2 π - 0$

Paso 7

Resuelve $x$

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Paso 7.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - 0)$

Paso 7.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 7.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - 0)$

Paso 7.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 2 (2 π - 0)$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.2.1

Simplifica $2 (2 π - 0)$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Resta $0$ de $2 π$ .

$x = 2 (2 π)$

Paso 7.2.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = 4 π$

Paso 8

Obtén el período de $\cos (\frac{x}{2})$ .

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Paso 8.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 8.2

Reemplaza $b$ con $\frac{1}{2}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Paso 8.3

$\frac{1}{2}$ es aproximadamente $0.5$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Paso 8.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \cdot 2$

Paso 8.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 π$

Paso 9

El período de la función $\cos (\frac{x}{2})$ es $4 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $4 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 4 π n, 4 π + 4 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 10

Consolida las respuestas.

$x = 4 π n$ , para cualquier número entero $n$