Precálculo Ejemplos

$2^{x} \cdot 5^{x} = 100$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (2^{x} \cdot 5^{x}) = \ln (100)$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Reescribe $\ln (2^{x} \cdot 5^{x})$ como $\ln (2^{x}) + \ln (5^{x})$ .

$\ln (2^{x}) + \ln (5^{x}) = \ln (100)$

Paso 2.2

Expande $\ln (2^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (2) + \ln (5^{x}) = \ln (100)$

Paso 2.3

Expande $\ln (5^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (2) + x \ln (5) = \ln (100)$

Paso 3

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$x \ln (2) + x \ln (5) - \ln (100) = 0$

Paso 4

Suma $\ln (100)$ a ambos lados de la ecuación.

$x \ln (2) + x \ln (5) = \ln (100)$

Paso 5

Factoriza $x$ de $x \ln (2) + x \ln (5)$ .

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Paso 5.1

Factoriza $x$ de $x \ln (2)$ .

$x (\ln (2)) + x \ln (5) = \ln (100)$

Paso 5.2

Factoriza $x$ de $x \ln (5)$ .

$x (\ln (2)) + x (\ln (5)) = \ln (100)$

Paso 5.3

Factoriza $x$ de $x (\ln (2)) + x (\ln (5))$ .

$x (\ln (2) + \ln (5)) = \ln (100)$

Paso 6

Divide cada término en $x (\ln (2) + \ln (5)) = \ln (100)$ por $\ln (2) + \ln (5)$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $x (\ln (2) + \ln (5)) = \ln (100)$ por $\ln (2) + \ln (5)$ .

$\frac{x (\ln (2) + \ln (5))}{\ln (2) + \ln (5)} = \frac{\ln (100)}{\ln (2) + \ln (5)}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $\ln (2) + \ln (5)$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (\ln (2) + \ln (5))}{\ln (2) + \ln (5)} = \frac{\ln (100)}{\ln (2) + \ln (5)}$

Paso 6.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (100)}{\ln (2) + \ln (5)}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{\ln (100)}{\ln (2) + \ln (5)}$

Forma decimal:

$x = 2$