Precálculo Ejemplos

$\frac{3 x^{2} + 24 x + 48}{x^{2}} + \frac{x - 6}{2 x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1

Factoriza cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2} + 24 x + 48$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 24 x + 48}{x^{2}} + \frac{x - 6}{2 x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.1.2

Factoriza $3$ de $24 x$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (8 x) + 48}{x^{2}} + \frac{x - 6}{2 x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.1.3

Factoriza $3$ de $48$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16}{x^{2}} + \frac{x - 6}{2 x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.1.4

Factoriza $3$ de $3 x^{2} + 3 (8 x)$ .

$\frac{3 (x^{2} + 8 x) + 3 \cdot 16}{x^{2}} + \frac{x - 6}{2 x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.1.5

Factoriza $3$ de $3 (x^{2} + 8 x) + 3 \cdot 16$ .

$\frac{3 (x^{2} + 8 x + 16)}{x^{2}} + \frac{x - 6}{2 x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.2.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} + 8 x + 4^{2})}{x^{2}} + \frac{x - 6}{2 x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Paso 1.2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{3 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})}{x^{2}} + \frac{x - 6}{2 x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{x^{2}} + \frac{x - 6}{2 x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{2}, 2 x^{2}, x^{2}$

Paso 2.2

Since $x^{2}, 2 x^{2}, x^{2}$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 2, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{2}, x^{2}$ .

Paso 2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 2.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 2.5

Como $2$ no tiene factores además de $1$ y $2$ .

$2$ es un número primo

Paso 2.6

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 2.7

El MCM de $1, 2, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$2$

Paso 2.8

Los factores para $x^{2}$ son $x \cdot x$ , que es $x$ multiplicada una por la otra $2$ veces.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ ocurre $2$ veces.

Paso 2.9

El MCM de $x^{2}, x^{2}, x^{2}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$x \cdot x$

Paso 2.10

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2}$

Paso 2.11

El MCM para $x^{2}, 2 x^{2}, x^{2}$ es la parte numérica $2$ multiplicada por la parte variable.

$2 x^{2}$

Paso 3

Multiplica cada término en $\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{x^{2}} + \frac{x - 6}{2 x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$ por $2 x^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{x^{2}} + \frac{x - 6}{2 x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$ por $2 x^{2}$ .

$\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{x^{2}} (2 x^{2}) + \frac{x - 6}{2 x^{2}} (2 x^{2}) = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{2})$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \frac{3 {(x + 4)}^{2}}{x^{2}} x^{2} + \frac{x - 6}{2 x^{2}} (2 x^{2}) = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{2})$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $2 \frac{3 {(x + 4)}^{2}}{x^{2}}$ .

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Paso 3.2.1.2.1

Combina $2$ y $\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{2 (3 {(x + 4)}^{2})}{x^{2}} x^{2} + \frac{x - 6}{2 x^{2}} (2 x^{2}) = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{2})$

Paso 3.2.1.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 {(x + 4)}^{2}}{x^{2}} x^{2} + \frac{x - 6}{2 x^{2}} (2 x^{2}) = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{2})$

Paso 3.2.1.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 {(x + 4)}^{2}}{x^{2}} x^{2} + \frac{x - 6}{2 x^{2}} (2 x^{2}) = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{2})$

Paso 3.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$6 {(x + 4)}^{2} + \frac{x - 6}{2 x^{2}} (2 x^{2}) = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{2})$

Paso 3.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$6 {(x + 4)}^{2} + 2 \frac{x - 6}{2 x^{2}} x^{2} = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{2})$

Paso 3.2.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.5.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$6 {(x + 4)}^{2} + 2 \frac{x - 6}{2 (x^{2})} x^{2} = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{2})$

Paso 3.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$6 {(x + 4)}^{2} + 2 \frac{x - 6}{2 x^{2}} x^{2} = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{2})$

Paso 3.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$6 {(x + 4)}^{2} + \frac{x - 6}{x^{2}} x^{2} = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{2})$

Paso 3.2.1.6

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.2.1.6.1

Cancela el factor común.

$6 {(x + 4)}^{2} + \frac{x - 6}{x^{2}} x^{2} = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{2})$

Paso 3.2.1.6.2

Reescribe la expresión.

$6 {(x + 4)}^{2} + x - 6 = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{2})$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$6 {(x + 4)}^{2} + x - 6 = 2 \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Paso 3.3.2

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$6 {(x + 4)}^{2} + x - 6 = \frac{2}{x^{2}} x^{2}$

Paso 3.3.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.3.3.1

Cancela el factor común.

$6 {(x + 4)}^{2} + x - 6 = \frac{2}{x^{2}} x^{2}$

Paso 3.3.3.2

Reescribe la expresión.

$6 {(x + 4)}^{2} + x - 6 = 2$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$6 {(x + 4)}^{2} + x - 6 - 2 = 0$

Paso 4.2

Simplifica $6 {(x + 4)}^{2} + x - 6 - 2$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Reescribe ${(x + 4)}^{2}$ como $(x + 4) (x + 4)$ .

$6 ((x + 4) (x + 4)) + x - 6 - 2 = 0$

Paso 4.2.1.2

Expande $(x + 4) (x + 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (x (x + 4) + 4 (x + 4)) + x - 6 - 2 = 0$

Paso 4.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)) + x - 6 - 2 = 0$

Paso 4.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) + x - 6 - 2 = 0$

Paso 4.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$6 (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) + x - 6 - 2 = 0$

Paso 4.2.1.3.1.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$6 (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4) + x - 6 - 2 = 0$

Paso 4.2.1.3.1.3

Multiplica $4$ por $4$ .

$6 (x^{2} + 4 x + 4 x + 16) + x - 6 - 2 = 0$

Paso 4.2.1.3.2

Suma $4 x$ y $4 x$ .

$6 (x^{2} + 8 x + 16) + x - 6 - 2 = 0$

Paso 4.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x^{2} + 6 (8 x) + 6 \cdot 16 + x - 6 - 2 = 0$

Paso 4.2.1.5

Simplifica.

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Paso 4.2.1.5.1

Multiplica $8$ por $6$ .

$6 x^{2} + 48 x + 6 \cdot 16 + x - 6 - 2 = 0$

Paso 4.2.1.5.2

Multiplica $6$ por $16$ .

$6 x^{2} + 48 x + 96 + x - 6 - 2 = 0$

Paso 4.2.2

Suma $48 x$ y $x$ .

$6 x^{2} + 49 x + 96 - 6 - 2 = 0$

Paso 4.2.3

Resta $6$ de $96$ .

$6 x^{2} + 49 x + 90 - 2 = 0$

Paso 4.2.4

Resta $2$ de $90$ .

$6 x^{2} + 49 x + 88 = 0$

Paso 4.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 6 \cdot 88 = 528$ y cuya suma es $b = 49$ .

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Paso 4.3.1.1

Factoriza $49$ de $49 x$ .

$6 x^{2} + 49 (x) + 88 = 0$

Paso 4.3.1.2

Reescribe $49$ como $16$ más $33$

$6 x^{2} + (16 + 33) x + 88 = 0$

Paso 4.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x^{2} + 16 x + 33 x + 88 = 0$

Paso 4.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(6 x^{2} + 16 x) + 33 x + 88 = 0$

Paso 4.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 x (3 x + 8) + 11 (3 x + 8) = 0$

Paso 4.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x + 8$ .

$(3 x + 8) (2 x + 11) = 0$

Paso 4.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x + 8 = 0$

$2 x + 11 = 0$

Paso 4.5

Establece $3 x + 8$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.5.1

Establece $3 x + 8$ igual a $0$ .

$3 x + 8 = 0$

Paso 4.5.2

Resuelve $3 x + 8 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.5.2.1

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 8$

Paso 4.5.2.2

Divide cada término en $3 x = - 8$ por $3$ y simplifica.

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Paso 4.5.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 8$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 8}{3}$

Paso 4.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 8}{3}$

Paso 4.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 8}{3}$

Paso 4.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{8}{3}$

Paso 4.6

Establece $2 x + 11$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.6.1

Establece $2 x + 11$ igual a $0$ .

$2 x + 11 = 0$

Paso 4.6.2

Resuelve $2 x + 11 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.6.2.1

Resta $11$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 11$

Paso 4.6.2.2

Divide cada término en $2 x = - 11$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.6.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - 11$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 11}{2}$

Paso 4.6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 11}{2}$

Paso 4.6.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 11}{2}$

Paso 4.6.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.6.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{11}{2}$

Paso 4.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x + 8) (2 x + 11) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{8}{3}, - \frac{11}{2}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{8}{3}, - \frac{11}{2}$

Forma decimal:

$x = - 2.\overline{6}, - 5.5$

Forma de número mixto:

$x = - 2 \frac{2}{3}, - 5 \frac{1}{2}$