Precálculo Ejemplos

$10^{2 x} - 6 \cdot 10^{x} - 7 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reescribe $10^{2 x}$ como ${(10^{x})}^{2}$ .

${(10^{x})}^{2} - 6 \cdot 10^{x} - 7 = 0$

Paso 1.2

Sea $u = 10^{x}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $10^{x}$ .

$u^{2} - 6 u - 7 = 0$

Paso 1.3

Factoriza $u^{2} - 6 u - 7$ con el método AC.

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Paso 1.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 7$ y cuya suma es $- 6$ .

$- 7, 1$

Paso 1.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 7) (u + 1) = 0$

Paso 1.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $10^{x}$ .

$(10^{x} - 7) (10^{x} + 1) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$10^{x} - 7 = 0$

$10^{x} + 1 = 0$

Paso 3

Establece $10^{x} - 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $10^{x} - 7$ igual a $0$ .

$10^{x} - 7 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $10^{x} - 7 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$10^{x} = 7$

Paso 3.2.2

Resta el logaritmo en base $10$ de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\log (10^{x}) = \log (7)$

Paso 3.2.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.2.3.1

Expande $\log (10^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \log (10) = \log (7)$

Paso 3.2.3.2

El logaritmo en base $10$ de $10$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \log (7)$

Paso 3.2.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \log (7)$

Paso 4

Establece $10^{x} + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $10^{x} + 1$ igual a $0$ .

$10^{x} + 1 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $10^{x} + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$10^{x} = - 1$

Paso 4.2.2

Resta el logaritmo en base $10$ de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\log (10^{x}) = \log (- 1)$

Paso 4.2.3

La ecuación no puede resolverse porque $\log (- 1)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 4.2.4

No hay soluciones para $10^{x} = - 1$

No hay solución

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(10^{x} - 7) (10^{x} + 1) = 0$ verdadera.

$x = \log (7)$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \log (7)$

Forma decimal:

$x = 0.84509804 \dots$