Precálculo Ejemplos

$\frac{4}{3^{1 - x}} = 5^{x}$

Paso 1

Resta el logaritmo de ambos lados de la ecuación.

$\ln (\frac{4}{3^{1 - x}}) = \ln (5^{x})$

Paso 2

Reescribe $\ln (\frac{4}{3^{1 - x}})$ como $\ln (4) - \ln (3^{1 - x})$ .

$\ln (4) - \ln (3^{1 - x}) = \ln (5^{x})$

Paso 3

Expande $\ln (3^{1 - x})$ ; para ello, mueve $1 - x$ fuera del logaritmo.

$\ln (4) - ((1 - x) \ln (3)) = \ln (5^{x})$

Paso 4

Elimina los paréntesis.

$\ln (4) - (1 - x) \ln (3) = \ln (5^{x})$

Paso 5

Expande $\ln (5^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$\ln (4) - (1 - x) \ln (3) = x \ln (5)$

Paso 6

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 6.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (4) + (- 1 \cdot 1 + x) \ln (3) = x \ln (5)$

Paso 6.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\ln (4) + (- 1 + x) \ln (3) = x \ln (5)$

Paso 6.1.1.3

Multiplica $- - x$ .

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Paso 6.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (4) + (- 1 + 1 x) \ln (3) = x \ln (5)$

Paso 6.1.1.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\ln (4) + (- 1 + x) \ln (3) = x \ln (5)$

Paso 6.1.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (4) - 1 \ln (3) + x \ln (3) = x \ln (5)$

Paso 6.1.1.5

Reescribe $- 1 \ln (3)$ como $- \ln (3)$ .

$\ln (4) - \ln (3) + x \ln (3) = x \ln (5)$

Paso 6.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{4}{3}) + x \ln (3) = x \ln (5)$

Paso 6.1.3

Reordena $\ln (\frac{4}{3})$ y $x \ln (3)$ .

$x \ln (3) + \ln (\frac{4}{3}) = x \ln (5)$

Paso 6.2

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$x \ln (3) + \ln (\frac{4}{3}) - x \ln (5) = 0$

Paso 6.3

Resta $\ln (\frac{4}{3})$ de ambos lados de la ecuación.

$x \ln (3) - x \ln (5) = - \ln (\frac{4}{3})$

Paso 6.4

Factoriza $x$ de $x \ln (3) - x \ln (5)$ .

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Paso 6.4.1

Factoriza $x$ de $x \ln (3)$ .

$x (\ln (3)) - x \ln (5) = - \ln (\frac{4}{3})$

Paso 6.4.2

Factoriza $x$ de $- x \ln (5)$ .

$x (\ln (3)) + x (- 1 \ln (5)) = - \ln (\frac{4}{3})$

Paso 6.4.3

Factoriza $x$ de $x (\ln (3)) + x (- 1 \ln (5))$ .

$x (\ln (3) - 1 \ln (5)) = - \ln (\frac{4}{3})$

Paso 6.5

Reescribe $- 1 \ln (5)$ como $- \ln (5)$ .

$x (\ln (3) - \ln (5)) = - \ln (\frac{4}{3})$

Paso 6.6

Divide cada término en $x (\ln (3) - \ln (5)) = - \ln (\frac{4}{3})$ por $\ln (3) - \ln (5)$ y simplifica.

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Paso 6.6.1

Divide cada término en $x (\ln (3) - \ln (5)) = - \ln (\frac{4}{3})$ por $\ln (3) - \ln (5)$ .

$\frac{x (\ln (3) - \ln (5))}{\ln (3) - \ln (5)} = \frac{- \ln (\frac{4}{3})}{\ln (3) - \ln (5)}$

Paso 6.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.6.2.1

Cancela el factor común de $\ln (3) - \ln (5)$ .

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Paso 6.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (\ln (3) - \ln (5))}{\ln (3) - \ln (5)} = \frac{- \ln (\frac{4}{3})}{\ln (3) - \ln (5)}$

Paso 6.6.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{4}{3})}{\ln (3) - \ln (5)}$

Paso 6.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.6.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{\ln (\frac{4}{3})}{\ln (3) - \ln (5)}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{\ln (\frac{4}{3})}{\ln (3) - \ln (5)}$

Forma decimal:

$x = 0.56317079 \dots$