Precálculo Ejemplos

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}} = 3$

Paso 1

Multiplica ambos lados por $e^{x} - e^{- x}$ .

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}} (e^{x} - e^{- x}) = 3 (e^{x} - e^{- x})$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común de $e^{x} - e^{- x}$ .

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Paso 2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}} (e^{x} - e^{- x}) = 3 (e^{x} - e^{- x})$

Paso 2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$e^{x} + e^{- x} = 3 (e^{x} - e^{- x})$

Paso 2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1

Simplifica $3 (e^{x} - e^{- x})$ .

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Paso 2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{x} + e^{- x} = 3 e^{x} + 3 (- e^{- x})$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$e^{x} + e^{- x} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe $e^{- x}$ como exponenciación.

$e^{x} + {(e^{x})}^{- 1} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Paso 3.2

Sustituye $u$ por $e^{x}$ .

$u + u^{- 1} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Paso 3.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Paso 3.4

Reescribe $e^{- x}$ como exponenciación.

$u + \frac{1}{u} = 3 e^{x} - 3 {(e^{x})}^{- 1} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Paso 3.5

Sustituye $u$ por $e^{x}$ .

$u + \frac{1}{u} = 3 u - 3 u^{- 1} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Paso 3.6

Simplifica cada término.

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Paso 3.6.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 3 u - 3 \frac{1}{u} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Paso 3.6.2

Combina $- 3$ y $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{1}{u} = 3 u + \frac{- 3}{u} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Paso 3.6.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u + \frac{1}{u} = 3 u - \frac{3}{u} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Paso 3.7

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.7.1

Resta $3 e^{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$e^{x} + e^{- x} - 3 e^{x} = - 3 e^{- x}$

Paso 3.7.2

Suma $3 e^{- x}$ a ambos lados de la ecuación.

$e^{x} + e^{- x} - 3 e^{x} + 3 e^{- x} = 0$

Paso 3.7.3

Resta $3 e^{x}$ de $e^{x}$ .

$e^{- x} - 2 e^{x} + 3 e^{- x} = 0$

Paso 3.7.4

Suma $e^{- x}$ y $3 e^{- x}$ .

$4 e^{- x} - 2 e^{x} = 0$

Paso 3.8

Mueve $- 2 e^{x}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma en ambos lados.

$4 e^{- x} = 2 e^{x}$

Paso 3.9

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (4 e^{- x}) = \ln (2 e^{x})$

Paso 3.10

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.10.1

Reescribe $\ln (4 e^{- x})$ como $\ln (4) + \ln (e^{- x})$ .

$\ln (4) + \ln (e^{- x}) = \ln (2 e^{x})$

Paso 3.10.2

Expande $\ln (e^{- x})$ ; para ello, mueve $- x$ fuera del logaritmo.

$\ln (4) - x \ln (e) = \ln (2 e^{x})$

Paso 3.10.3

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\ln (4) - x \cdot 1 = \ln (2 e^{x})$

Paso 3.10.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\ln (4) - x = \ln (2 e^{x})$

Paso 3.11

Expande el lado derecho.

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Paso 3.11.1

Reescribe $\ln (2 e^{x})$ como $\ln (2) + \ln (e^{x})$ .

$\ln (4) - x = \ln (2) + \ln (e^{x})$

Paso 3.11.2

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$\ln (4) - x = \ln (2) + x \ln (e)$

Paso 3.11.3

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\ln (4) - x = \ln (2) + x \cdot 1$

Paso 3.11.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$\ln (4) - x = \ln (2) + x$

Paso 3.12

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (4) - \ln (2) = x + x$

Paso 3.13

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{4}{2}) = x + x$

Paso 3.14

Divide $4$ por $2$ .

$\ln (2) = x + x$

Paso 3.15

Suma $x$ y $x$ .

$\ln (2) = 2 x$

Paso 3.16

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$2 x = \ln (2)$

Paso 3.17

Divide cada término en $2 x = \ln (2)$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.17.1

Divide cada término en $2 x = \ln (2)$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\ln (2)}{2}$

Paso 3.17.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.17.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.17.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\ln (2)}{2}$

Paso 3.17.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (2)}{2}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{\ln (2)}{2}$

Forma decimal:

$x = 0.34657359 \dots$