Precálculo Ejemplos

$\log_{0.5} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = - 2$

Paso 1

Reescribe $\log_{0.5} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = - 2$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

${0.5}^{- 2} = {(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como ${(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}} = {0.5}^{- 2}$ .

${(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}} = {0.5}^{- 2}$

Paso 2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {({0.5}^{- 2})}^{3}$

Paso 2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1.1

Simplifica ${({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {({0.5}^{- 2})}^{3}$

Paso 2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(3 x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {({0.5}^{- 2})}^{3}$

Paso 2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(3 x + 1)}^{1} = {({0.5}^{- 2})}^{3}$

Paso 2.3.1.1.2

Simplifica.

$3 x + 1 = {({0.5}^{- 2})}^{3}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.1

Simplifica ${({0.5}^{- 2})}^{3}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({0.5}^{- 2})}^{3}$ .

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Paso 2.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x + 1 = {0.5}^{- 2 \cdot 3}$

Paso 2.3.2.1.1.2

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$3 x + 1 = {0.5}^{- 6}$

Paso 2.3.2.1.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x + 1 = \frac{1}{{0.5}^{6}}$

Paso 2.3.2.1.3

Eleva $0.5$ a la potencia de $6$ .

$3 x + 1 = \frac{1}{0.015625}$

Paso 2.3.2.1.4

Divide $1$ por $0.015625$ .

$3 x + 1 = 64$

Paso 2.4

Resuelve $x$

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Paso 2.4.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.4.1.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = 64 - 1$

Paso 2.4.1.2

Resta $1$ de $64$ .

$3 x = 63$

Paso 2.4.2

Divide cada término en $3 x = 63$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.4.2.1

Divide cada término en $3 x = 63$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{63}{3}$

Paso 2.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{63}{3}$

Paso 2.4.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{63}{3}$

Paso 2.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.3.1

Divide $63$ por $3$ .

$x = 21$