Precálculo Ejemplos

$\frac{2^{x^{2}}}{64^{x}} = 128$

Paso 1

Mueve $64^{x}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$2^{x^{2}} \cdot 64^{- x} = 128$

Paso 2

Reescribe $64$ como $2^{6}$ .

$2^{x^{2}} \cdot {(2^{6})}^{- x} = 128$

Paso 3

Multiplica los exponentes en ${(2^{6})}^{- x}$ .

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Paso 3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{x^{2}} \cdot 2^{6 (- x)} = 128$

Paso 3.2

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$2^{x^{2}} \cdot 2^{- 6 x} = 128$

Paso 4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2^{x^{2} - 6 x} = 128$

Paso 5

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$2^{x^{2} - 6 x} = 2^{7}$

Paso 6

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$x^{2} - 6 x = 7$

Paso 7

Resuelve $x$

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Paso 7.1

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 6 x - 7 = 0$

Paso 7.2

Factoriza $x^{2} - 6 x - 7$ con el método AC.

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Paso 7.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 7$ y cuya suma es $- 6$ .

$- 7, 1$

Paso 7.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 7) (x + 1) = 0$

Paso 7.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 7.4

Establece $x - 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.4.1

Establece $x - 7$ igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Paso 7.4.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 7$

Paso 7.5

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.5.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 7.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 7.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 7) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 7, - 1$