Precálculo Ejemplos

${(2.221)}^{x} = (\frac{1}{2}) ({0.75}^{x + 2})$

Paso 1

Resta el logaritmo de ambos lados de la ecuación.

$\ln ({2.221}^{x}) = \ln (\frac{1}{2} \cdot {0.75}^{x + 2})$

Paso 2

Expande $\ln ({2.221}^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (2.221) = \ln (\frac{1}{2} \cdot {0.75}^{x + 2})$

Paso 3

Reescribe $\ln (\frac{1}{2} \cdot {0.75}^{x + 2})$ como $\ln (\frac{1}{2}) + \ln ({0.75}^{x + 2})$ .

$x \ln (2.221) = \ln (\frac{1}{2}) + \ln ({0.75}^{x + 2})$

Paso 4

Reescribe $\ln (\frac{1}{2})$ como $\ln (1) - \ln (2)$ .

$x \ln (2.221) = \ln (1) - \ln (2) + \ln ({0.75}^{x + 2})$

Paso 5

Expande $\ln ({0.75}^{x + 2})$ ; para ello, mueve $x + 2$ fuera del logaritmo.

$x \ln (2.221) = \ln (1) - \ln (2) + (x + 2) \ln (0.75)$

Paso 6

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$x \ln (2.221) = 0 - \ln (2) + (x + 2) \ln (0.75)$

Paso 7

Resta $\ln (2)$ de $0$ .

$x \ln (2.221) = - \ln (2) + (x + 2) \ln (0.75)$

Paso 8

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 8.1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \ln (2.221) = - \ln (2) + x \ln (0.75) + 2 \ln (0.75)$

Paso 8.1.1.2

Simplifica $2 \ln (0.75)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$x \ln (2.221) = - \ln (2) + x \ln (0.75) + \ln ({0.75}^{2})$

Paso 8.1.1.3

Eleva $0.75$ a la potencia de $2$ .

$x \ln (2.221) = - \ln (2) + x \ln (0.75) + \ln (0.5625)$

Paso 8.2

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$x \ln (2.221) + \ln (2) - x \ln (0.75) - \ln (0.5625) = 0$

Paso 8.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (2.221) - x \ln (0.75) + \ln (\frac{2}{0.5625}) = 0$

Paso 8.4

Divide $2$ por $0.5625$ .

$x \ln (2.221) - x \ln (0.75) + \ln (3.\overline{5}) = 0$

Paso 8.5

Resta $\ln (3.\overline{5})$ de ambos lados de la ecuación.

$x \ln (2.221) - x \ln (0.75) = - \ln (3.\overline{5})$

Paso 8.6

Factoriza $x$ de $x \ln (2.221) - x \ln (0.75)$ .

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Paso 8.6.1

Factoriza $x$ de $x \ln (2.221)$ .

$x (\ln (2.221)) - x \ln (0.75) = - \ln (3.\overline{5})$

Paso 8.6.2

Factoriza $x$ de $- x \ln (0.75)$ .

$x (\ln (2.221)) + x (- 1 \ln (0.75)) = - \ln (3.\overline{5})$

Paso 8.6.3

Factoriza $x$ de $x (\ln (2.221)) + x (- 1 \ln (0.75))$ .

$x (\ln (2.221) - 1 \ln (0.75)) = - \ln (3.\overline{5})$

Paso 8.7

Reescribe $- 1 \ln (0.75)$ como $- \ln (0.75)$ .

$x (\ln (2.221) - \ln (0.75)) = - \ln (3.\overline{5})$

Paso 8.8

Divide cada término en $x (\ln (2.221) - \ln (0.75)) = - \ln (3.\overline{5})$ por $\ln (2.221) - \ln (0.75)$ y simplifica.

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Paso 8.8.1

Divide cada término en $x (\ln (2.221) - \ln (0.75)) = - \ln (3.\overline{5})$ por $\ln (2.221) - \ln (0.75)$ .

$\frac{x (\ln (2.221) - \ln (0.75))}{\ln (2.221) - \ln (0.75)} = \frac{- \ln (3.\overline{5})}{\ln (2.221) - \ln (0.75)}$

Paso 8.8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.8.2.1

Cancela el factor común de $\ln (2.221) - \ln (0.75)$ .

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Paso 8.8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (\ln (2.221) - \ln (0.75))}{\ln (2.221) - \ln (0.75)} = \frac{- \ln (3.\overline{5})}{\ln (2.221) - \ln (0.75)}$

Paso 8.8.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (3.\overline{5})}{\ln (2.221) - \ln (0.75)}$

Paso 8.8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.8.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{\ln (3.\overline{5})}{\ln (2.221) - \ln (0.75)}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{\ln (3.\overline{5})}{\ln (2.221) - \ln (0.75)}$

Forma decimal:

$x = - 1.16844605 \dots$