Precálculo Ejemplos

${(0.25)}^{5} = 4^{\frac{5 x - 3}{3}} {(0.125)}^{6 x}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $4^{\frac{5 x - 3}{3}} \cdot {0.125}^{6 x} = {0.25}^{5}$ .

$4^{\frac{5 x - 3}{3}} \cdot {0.125}^{6 x} = {0.25}^{5}$

Paso 2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (4^{\frac{5 x - 3}{3}} \cdot {0.125}^{6 x}) = \ln ({0.25}^{5})$

Paso 3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Reescribe $\ln (4^{\frac{5 x - 3}{3}} \cdot {0.125}^{6 x})$ como $\ln (4^{\frac{5 x - 3}{3}}) + \ln ({0.125}^{6 x})$ .

$\ln (4^{\frac{5 x - 3}{3}}) + \ln ({0.125}^{6 x}) = \ln ({0.25}^{5})$

Paso 3.2

Expande $\ln (4^{\frac{5 x - 3}{3}})$ ; para ello, mueve $\frac{5 x - 3}{3}$ fuera del logaritmo.

$\frac{5 x - 3}{3} \ln (4) + \ln ({0.125}^{6 x}) = \ln ({0.25}^{5})$

Paso 3.3

Expande $\ln ({0.125}^{6 x})$ ; para ello, mueve $6 x$ fuera del logaritmo.

$\frac{5 x - 3}{3} \ln (4) + 6 x \ln (0.125) = \ln ({0.25}^{5})$

Paso 3.4

Combina $\frac{5 x - 3}{3}$ y $\ln (4)$ .

$\frac{(5 x - 3) \ln (4)}{3} + 6 x \ln (0.125) = \ln ({0.25}^{5})$

Paso 4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1

Reordena los factores en $\frac{(5 x - 3) \ln (4)}{3} + 6 x \ln (0.125)$ .

$\frac{\ln (4) (5 x - 3)}{3} + 6 x \ln (0.125) = \ln ({0.25}^{5})$

Paso 5

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1

Eleva $0.25$ a la potencia de $5$ .

$\frac{\ln (4) (5 x - 3)}{3} + 6 x \ln (0.125) = \ln (0.00097656)$

Paso 6

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1

Para escribir $6 x \ln (0.125)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\ln (4) (5 x - 3)}{3} + 6 x \ln (0.125) \cdot \frac{3}{3} = \ln (0.00097656)$

Paso 6.2

Simplifica los términos.

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Paso 6.2.1

Combina $6 x \ln (0.125)$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\ln (4) (5 x - 3)}{3} + \frac{6 x \ln (0.125) \cdot 3}{3} = \ln (0.00097656)$

Paso 6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (4) (5 x - 3) + 6 x \ln (0.125) \cdot 3}{3} = \ln (0.00097656)$

Paso 6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\ln (4) (5 x) + \ln (4) \cdot - 3 + 6 x \ln (0.125) \cdot 3}{3} = \ln (0.00097656)$

Paso 6.3.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $\ln (4)$ .

$\frac{\ln (4) \cdot (5 x) - 3 \cdot \ln (4) + 6 x \ln (0.125) \cdot 3}{3} = \ln (0.00097656)$

Paso 6.3.3

Mueve $5$ a la izquierda de $\ln (4)$ .

$\frac{5 \ln (4) x - 3 \ln (4) + 6 x \ln (0.125) \cdot 3}{3} = \ln (0.00097656)$

Paso 6.3.4

Multiplica $3$ por $6$ .

$\frac{5 \ln (4) x - 3 \ln (4) + 18 x \ln (0.125)}{3} = \ln (0.00097656)$

Paso 6.3.5

Reordena los términos.

$\frac{5 x \ln (4) + 18 x \ln (0.125) - 3 \ln (4)}{3} = \ln (0.00097656)$

Paso 7

Multiplica ambos lados por $3$ .

$\frac{5 x \ln (4) + 18 x \ln (0.125) - 3 \ln (4)}{3} \cdot 3 = \ln (0.00097656) \cdot 3$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.1.1

Simplifica $\frac{5 x \ln (4) + 18 x \ln (0.125) - 3 \ln (4)}{3} \cdot 3$ .

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Paso 8.1.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x \ln (4) + 18 x \ln (0.125) - 3 \ln (4)}{3} \cdot 3 = \ln (0.00097656) \cdot 3$

Paso 8.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$5 x \ln (4) + 18 x \ln (0.125) - 3 \ln (4) = \ln (0.00097656) \cdot 3$

Paso 8.1.1.2

Reordena $5 x \ln (4)$ y $18 x \ln (0.125)$ .

$18 x \ln (0.125) + 5 x \ln (4) - 3 \ln (4) = \ln (0.00097656) \cdot 3$

Paso 8.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.1

Mueve $3$ a la izquierda de $\ln (0.00097656)$ .

$18 x \ln (0.125) + 5 x \ln (4) - 3 \ln (4) = 3 \ln (0.00097656)$

Paso 9

Resuelve $x$

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Paso 9.1

Suma $3 \ln (4)$ a ambos lados de la ecuación.

$18 x \ln (0.125) + 5 x \ln (4) = 3 \ln (0.00097656) + 3 \ln (4)$

Paso 9.2

Factoriza $x$ de $18 x \ln (0.125) + 5 x \ln (4)$ .

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Paso 9.2.1

Factoriza $x$ de $18 x \ln (0.125)$ .

$x (18 \ln (0.125)) + 5 x \ln (4) = 3 \ln (0.00097656) + 3 \ln (4)$

Paso 9.2.2

Factoriza $x$ de $5 x \ln (4)$ .

$x (18 \ln (0.125)) + x (5 \ln (4)) = 3 \ln (0.00097656) + 3 \ln (4)$

Paso 9.2.3

Factoriza $x$ de $x (18 \ln (0.125)) + x (5 \ln (4))$ .

$x (18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)) = 3 \ln (0.00097656) + 3 \ln (4)$

Paso 9.3

Divide cada término en $x (18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)) = 3 \ln (0.00097656) + 3 \ln (4)$ por $18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)$ y simplifica.

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Paso 9.3.1

Divide cada término en $x (18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)) = 3 \ln (0.00097656) + 3 \ln (4)$ por $18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)$ .

$\frac{x (18 \ln (0.125) + 5 \ln (4))}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)} = \frac{3 \ln (0.00097656)}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)} + \frac{3 \ln (4)}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)}$

Paso 9.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.3.2.1

Cancela el factor común de $18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)$ .

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Paso 9.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (18 \ln (0.125) + 5 \ln (4))}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)} = \frac{3 \ln (0.00097656)}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)} + \frac{3 \ln (4)}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)}$

Paso 9.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{3 \ln (0.00097656)}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)} + \frac{3 \ln (4)}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)}$

Paso 9.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{3 \ln (0.00097656) + 3 \ln (4)}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)}$

Paso 9.3.3.2

Factoriza $3$ de $3 \ln (0.00097656) + 3 \ln (4)$ .

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Paso 9.3.3.2.1

Factoriza $3$ de $3 \ln (0.00097656)$ .

$x = \frac{3 \ln (0.00097656) + 3 \ln (4)}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)}$

Paso 9.3.3.2.2

Factoriza $3$ de $3 \ln (4)$ .

$x = \frac{3 \ln (0.00097656) + 3 \ln (4)}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)}$

Paso 9.3.3.2.3

Factoriza $3$ de $3 \ln (0.00097656) + 3 \ln (4)$ .

$x = \frac{3 (\ln (0.00097656) + \ln (4))}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{3 (\ln (0.00097656) + \ln (4))}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)}$

Forma decimal:

$x = 0.\overline{54}$