Precálculo Ejemplos

${(\frac{4}{5})}^{6 x + 1} = \frac{5}{4}$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln ({(\frac{4}{5})}^{6 x + 1}) = \ln (\frac{5}{4})$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Expande $\ln ({(\frac{4}{5})}^{6 x + 1})$ ; para ello, mueve $6 x + 1$ fuera del logaritmo.

$(6 x + 1) \ln (\frac{4}{5}) = \ln (\frac{5}{4})$

Paso 2.2

Reescribe $\ln (\frac{4}{5})$ como $\ln (4) - \ln (5)$ .

$(6 x + 1) (\ln (4) - \ln (5)) = \ln (\frac{5}{4})$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Simplifica $(6 x + 1) (\ln (4) - \ln (5))$ .

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Paso 3.1.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$(6 x + 1) \ln (\frac{4}{5}) = \ln (\frac{5}{4})$

Paso 3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + 1 \ln (\frac{4}{5}) = \ln (\frac{5}{4})$

Paso 3.1.3

Multiplica $\ln (\frac{4}{5})$ por $1$ .

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + \ln (\frac{4}{5}) = \ln (\frac{5}{4})$

Paso 4

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + \ln (\frac{4}{5}) - \ln (\frac{5}{4}) = 0$

Paso 5

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + \ln (\frac{\frac{4}{5}}{\frac{5}{4}}) = 0$

Paso 6

Simplifica cada término.

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Paso 6.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + \ln (\frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5}) = 0$

Paso 6.2

Multiplica $\frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5}$ .

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Paso 6.2.1

Multiplica $\frac{4}{5}$ por $\frac{4}{5}$ .

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + \ln (\frac{4 \cdot 4}{5 \cdot 5}) = 0$

Paso 6.2.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + \ln (\frac{16}{5 \cdot 5}) = 0$

Paso 6.2.3

Multiplica $5$ por $5$ .

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + \ln (\frac{16}{25}) = 0$

Paso 7

Resta $\ln (\frac{16}{25})$ de ambos lados de la ecuación.

$6 x \ln (\frac{4}{5}) = - \ln (\frac{16}{25})$

Paso 8

Divide cada término en $6 x \ln (\frac{4}{5}) = - \ln (\frac{16}{25})$ por $6 \ln (\frac{4}{5})$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $6 x \ln (\frac{4}{5}) = - \ln (\frac{16}{25})$ por $6 \ln (\frac{4}{5})$ .

$\frac{6 x \ln (\frac{4}{5})}{6 \ln (\frac{4}{5})} = \frac{- \ln (\frac{16}{25})}{6 \ln (\frac{4}{5})}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x \ln (\frac{4}{5})}{6 \ln (\frac{4}{5})} = \frac{- \ln (\frac{16}{25})}{6 \ln (\frac{4}{5})}$

Paso 8.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x \ln (\frac{4}{5})}{\ln (\frac{4}{5})} = \frac{- \ln (\frac{16}{25})}{6 \ln (\frac{4}{5})}$

Paso 8.2.2

Cancela el factor común de $\ln (\frac{4}{5})$ .

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Paso 8.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (\frac{4}{5})}{\ln (\frac{4}{5})} = \frac{- \ln (\frac{16}{25})}{6 \ln (\frac{4}{5})}$

Paso 8.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{16}{25})}{6 \ln (\frac{4}{5})}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{\ln (\frac{16}{25})}{6 \ln (\frac{4}{5})}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{\ln (\frac{16}{25})}{6 \ln (\frac{4}{5})}$

Forma decimal:

$x = - 0.\overline{3}$