Precálculo Ejemplos

${(2^{2 x} \cdot 2^{2 x})}^{x - 1} = 8$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln ({(2^{2 x} \cdot 2^{2 x})}^{x - 1}) = \ln (8)$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Expande $\ln ({(2^{2 x} \cdot 2^{2 x})}^{x - 1})$ ; para ello, mueve $x - 1$ fuera del logaritmo.

$(x - 1) \ln (2^{2 x} \cdot 2^{2 x}) = \ln (8)$

Paso 2.2

Multiplica $2^{2 x}$ por $2^{2 x}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(x - 1) \ln (2^{2 x + 2 x}) = \ln (8)$

Paso 2.2.2

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$(x - 1) \ln (2^{4 x}) = \ln (8)$

Paso 2.3

Expande $\ln (2^{4 x})$ ; para ello, mueve $4 x$ fuera del logaritmo.

$(x - 1) (4 x \ln (2)) = \ln (8)$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Simplifica $(x - 1) (4 x \ln (2))$ .

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Paso 3.1.1

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 3.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (4 x \ln (2)) - 1 (4 x \ln (2)) = \ln (8)$

Paso 3.1.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1.1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 \ln (2) x \cdot x - 1 (4 x \ln (2)) = \ln (8)$

Paso 3.1.1.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$4 \ln (2) x \cdot x - 4 (x \ln (2)) = \ln (8)$

Paso 3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.2.1

Mueve $x$ .

$4 \ln (2) (x \cdot x) - 4 (x \ln (2)) = \ln (8)$

Paso 3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$4 \ln (2) x^{2} - 4 (x \ln (2)) = \ln (8)$

$4 \ln (2) x^{2} - 4 x \ln (2) = \ln (8)$

Paso 3.1.3

Reordena los factores en $4 \ln (2) x^{2} - 4 x \ln (2)$ .

$4 x^{2} \ln (2) - 4 x \ln (2) = \ln (8)$

Paso 4

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$4 x^{2} \ln (2) - 4 x \ln (2) - \ln (8) = 0$

Paso 5

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 6

Sustituye los valores $a = 4 \ln (2)$ , $b = - 4 \ln (2)$ y $c = - \ln (8)$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(- 4 \ln (2))}^{2} - 4 \cdot (4 \ln (2) \cdot (- \ln (8)))}}{2 (4 \ln (2))}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Agrega paréntesis.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(- 4 \ln (2))}^{2} - 4 \cdot (4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8))))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Paso 7.1.2

Sea $u = 4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8)))$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8)))$ .

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Paso 7.1.2.1

Aplica la regla del producto a $- 4 \ln (2)$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} \ln^{2} (2) - 4 \cdot u}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Paso 7.1.2.2

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{16 \ln^{2} (2) - 4 u}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Paso 7.1.3

Factoriza $4$ de $16 \ln^{2} (2) - 4 u$ .

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Paso 7.1.3.1

Factoriza $4$ de $16 \ln^{2} (2)$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2)) - 4 u}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Paso 7.1.3.2

Factoriza $4$ de $- 4 u$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2)) + 4 (- u)}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Paso 7.1.3.3

Factoriza $4$ de $4 (4 \ln^{2} (2)) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) - u)}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Paso 7.1.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8)))$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) - (4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8)))))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Paso 7.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.5.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) - (4 (- \ln (2) \ln (8))))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Paso 7.1.5.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) - (- 4 (\ln (2) \ln (8))))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Paso 7.1.5.3

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) + 4 \ln (2) \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Paso 7.1.6

Factoriza $4 \ln (2)$ de $4 \ln^{2} (2) + 4 \ln (2) \ln (8)$ .

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Paso 7.1.6.1

Factoriza $4 \ln (2)$ de $4 \ln^{2} (2)$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln (2) \ln (2) + 4 \ln (2) \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Paso 7.1.6.2

Factoriza $4 \ln (2)$ de $4 \ln (2) \ln (8)$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln (2) \ln (2) + 4 \ln (2) \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Paso 7.1.6.3

Factoriza $4 \ln (2)$ de $4 \ln (2) \ln (2) + 4 \ln (2) \ln (8)$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln (2) (\ln (2) + \ln (8)))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 \cdot (4 \ln (2) (\ln (2) + \ln (8)))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Paso 7.1.7

Multiplica $4$ por $4$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{16 \ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Paso 7.1.8

Reescribe $16 \ln (2) (\ln (2) + \ln (8))$ como ${(2^{2})}^{2} (\ln (2) (\ln (2) + \ln (8)))$ .

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Paso 7.1.8.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4^{2} \ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Paso 7.1.8.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Paso 7.1.8.3

Agrega paréntesis.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (\ln (2) (\ln (2) + \ln (8)))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Paso 7.1.9

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm 2^{2} \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Paso 7.1.10

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm 4 \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Paso 7.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm 4 \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{8 \ln (2)}$

Paso 7.3

Simplifica $\frac{4 \ln (2) \pm 4 \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{8 \ln (2)}$ .

$x = \frac{\ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}$

Paso 8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{\ln (2) + \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}, \frac{\ln (2) - \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{\ln (2) + \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}, \frac{\ln (2) - \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}$

Forma decimal:

$x = 1.5, - 0.5$