Precálculo Ejemplos

${(\frac{2}{3})}^{x} = 5^{1 - x}$

Paso 1

Resta el logaritmo de ambos lados de la ecuación.

$\ln ({(\frac{2}{3})}^{x}) = \ln (5^{1 - x})$

Paso 2

Expande $\ln ({(\frac{2}{3})}^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (\frac{2}{3}) = \ln (5^{1 - x})$

Paso 3

Reescribe $\ln (\frac{2}{3})$ como $\ln (2) - \ln (3)$ .

$x (\ln (2) - \ln (3)) = \ln (5^{1 - x})$

Paso 4

Expande $\ln (5^{1 - x})$ ; para ello, mueve $1 - x$ fuera del logaritmo.

$x (\ln (2) - \ln (3)) = (1 - x) \ln (5)$

Paso 5

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 5.1

Simplifica $x (\ln (2) - \ln (3))$ .

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Paso 5.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + x (\ln (2) - \ln (3)) = (1 - x) \ln (5)$

Paso 5.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$x (\ln (2) - \ln (3)) = (1 - x) \ln (5)$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \ln (2) + x (- \ln (3)) = (1 - x) \ln (5)$

Paso 5.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x \ln (2) - x \ln (3) = (1 - x) \ln (5)$

Paso 5.2

Simplifica $(1 - x) \ln (5)$ .

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Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \ln (2) - x \ln (3) = 1 \ln (5) - x \ln (5)$

Paso 5.2.2

Multiplica $\ln (5)$ por $1$ .

$x \ln (2) - x \ln (3) = \ln (5) - x \ln (5)$

Paso 5.3

Suma $x \ln (5)$ a ambos lados de la ecuación.

$x \ln (2) - x \ln (3) + x \ln (5) = \ln (5)$

Paso 5.4

Factoriza $x$ de $x \ln (2) - x \ln (3) + x \ln (5)$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $x$ de $x \ln (2)$ .

$x (\ln (2)) - x \ln (3) + x \ln (5) = \ln (5)$

Paso 5.4.2

Factoriza $x$ de $- x \ln (3)$ .

$x (\ln (2)) + x (- 1 \ln (3)) + x \ln (5) = \ln (5)$

Paso 5.4.3

Factoriza $x$ de $x \ln (5)$ .

$x (\ln (2)) + x (- 1 \ln (3)) + x (\ln (5)) = \ln (5)$

Paso 5.4.4

Factoriza $x$ de $x (\ln (2)) + x (- 1 \ln (3))$ .

$x (\ln (2) - 1 \ln (3)) + x (\ln (5)) = \ln (5)$

Paso 5.4.5

Factoriza $x$ de $x (\ln (2) - 1 \ln (3)) + x (\ln (5))$ .

$x (\ln (2) - 1 \ln (3) + \ln (5)) = \ln (5)$

Paso 5.5

Reescribe $- 1 \ln (3)$ como $- \ln (3)$ .

$x (\ln (2) - \ln (3) + \ln (5)) = \ln (5)$

Paso 5.6

Divide cada término en $x (\ln (2) - \ln (3) + \ln (5)) = \ln (5)$ por $\ln (2) - \ln (3) + \ln (5)$ y simplifica.

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Paso 5.6.1

Divide cada término en $x (\ln (2) - \ln (3) + \ln (5)) = \ln (5)$ por $\ln (2) - \ln (3) + \ln (5)$ .

$\frac{x (\ln (2) - \ln (3) + \ln (5))}{\ln (2) - \ln (3) + \ln (5)} = \frac{\ln (5)}{\ln (2) - \ln (3) + \ln (5)}$

Paso 5.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.6.2.1

Cancela el factor común de $\ln (2) - \ln (3) + \ln (5)$ .

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Paso 5.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (\ln (2) - \ln (3) + \ln (5))}{\ln (2) - \ln (3) + \ln (5)} = \frac{\ln (5)}{\ln (2) - \ln (3) + \ln (5)}$

Paso 5.6.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (5)}{\ln (2) - \ln (3) + \ln (5)}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{\ln (5)}{\ln (2) - \ln (3) + \ln (5)}$

Forma decimal:

$x = 1.33677264 \dots$