Precálculo Ejemplos

${(8 x)}^{- 3} = 64$

Paso 1

Simplifica ${(8 x)}^{- 3}$ .

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Paso 1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(8 x)}^{3}} = 64$

Paso 1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.1

Aplica la regla del producto a $8 x$ .

$\frac{1}{8^{3} x^{3}} = 64$

Paso 1.2.2

Eleva $8$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{512 x^{3}} = 64$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$512 x^{3}, 1$

Paso 2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$512 x^{3}$

Paso 3

Multiplica cada término en $\frac{1}{512 x^{3}} = 64$ por $512 x^{3}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{512 x^{3}} = 64$ por $512 x^{3}$ .

$\frac{1}{512 x^{3}} (512 x^{3}) = 64 (512 x^{3})$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$512 \frac{1}{512 x^{3}} x^{3} = 64 (512 x^{3})$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $512$ .

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $512$ de $512 x^{3}$ .

$512 \frac{1}{512 (x^{3})} x^{3} = 64 (512 x^{3})$

Paso 3.2.2.2

Cancela el factor común.

$512 \frac{1}{512 x^{3}} x^{3} = 64 (512 x^{3})$

Paso 3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x^{3}} x^{3} = 64 (512 x^{3})$

Paso 3.2.3

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 3.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x^{3}} x^{3} = 64 (512 x^{3})$

Paso 3.2.3.2

Reescribe la expresión.

$1 = 64 (512 x^{3})$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Multiplica $512$ por $64$ .

$1 = 32768 x^{3}$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $32768 x^{3} = 1$ .

$32768 x^{3} = 1$

Paso 4.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$32768 x^{3} - 1 = 0$

Paso 4.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Reescribe $32768 x^{3}$ como ${(32 x)}^{3}$ .

${(32 x)}^{3} - 1 = 0$

Paso 4.3.2

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

${(32 x)}^{3} - 1^{3} = 0$

Paso 4.3.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 32 x$ y $b = 1$ .

$(32 x - 1) ({(32 x)}^{2} + 32 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 4.3.4

Simplifica.

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Paso 4.3.4.1

Aplica la regla del producto a $32 x$ .

$(32 x - 1) (32^{2} x^{2} + 32 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 4.3.4.2

Eleva $32$ a la potencia de $2$ .

$(32 x - 1) (1024 x^{2} + 32 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 4.3.4.3

Multiplica $32$ por $1$ .

$(32 x - 1) (1024 x^{2} + 32 x + 1^{2}) = 0$

Paso 4.3.4.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(32 x - 1) (1024 x^{2} + 32 x + 1) = 0$

Paso 4.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$32 x - 1 = 0$

$1024 x^{2} + 32 x + 1 = 0$

Paso 4.5

Establece $32 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.5.1

Establece $32 x - 1$ igual a $0$ .

$32 x - 1 = 0$

Paso 4.5.2

Resuelve $32 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$32 x = 1$

Paso 4.5.2.2

Divide cada término en $32 x = 1$ por $32$ y simplifica.

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Paso 4.5.2.2.1

Divide cada término en $32 x = 1$ por $32$ .

$\frac{32 x}{32} = \frac{1}{32}$

Paso 4.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $32$ .

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Paso 4.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{32 x}{32} = \frac{1}{32}$

Paso 4.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{32}$

Paso 4.6

Establece $1024 x^{2} + 32 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.6.1

Establece $1024 x^{2} + 32 x + 1$ igual a $0$ .

$1024 x^{2} + 32 x + 1 = 0$

Paso 4.6.2

Resuelve $1024 x^{2} + 32 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.6.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.6.2.2

Sustituye los valores $a = 1024$ , $b = 32$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot (1024 \cdot 1)}}{2 \cdot 1024}$

Paso 4.6.2.3

Simplifica.

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Paso 4.6.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.2.3.1.1

Eleva $32$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 1024 \cdot 1}}{2 \cdot 1024}$

Paso 4.6.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1024 \cdot 1$ .

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Paso 4.6.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4096 \cdot 1}}{2 \cdot 1024}$

Paso 4.6.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4096$ por $1$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4096}}{2 \cdot 1024}$

Paso 4.6.2.3.1.3

Resta $4096$ de $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{- 3072}}{2 \cdot 1024}$

Paso 4.6.2.3.1.4

Reescribe $- 3072$ como $- 1 (3072)$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3072}}{2 \cdot 1024}$

Paso 4.6.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3072)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3072}$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3072}}{2 \cdot 1024}$

Paso 4.6.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 32 \pm i \cdot \sqrt{3072}}{2 \cdot 1024}$

Paso 4.6.2.3.1.7

Reescribe $3072$ como $32^{2} \cdot 3$ .

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Paso 4.6.2.3.1.7.1

Factoriza $1024$ de $3072$ .

$x = \frac{- 32 \pm i \cdot \sqrt{1024 (3)}}{2 \cdot 1024}$

Paso 4.6.2.3.1.7.2

Reescribe $1024$ como $32^{2}$ .

$x = \frac{- 32 \pm i \cdot \sqrt{32^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1024}$

Paso 4.6.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 32 \pm i \cdot (32 \sqrt{3})}{2 \cdot 1024}$

Paso 4.6.2.3.1.9

Mueve $32$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 32 \pm 32 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1024}$

Paso 4.6.2.3.2

Multiplica $2$ por $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm 32 i \sqrt{3}}{2048}$

Paso 4.6.2.3.3

Simplifica $\frac{- 32 \pm 32 i \sqrt{3}}{2048}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{64}$

Paso 4.6.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{64}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{64}$

Paso 4.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(32 x - 1) (1024 x^{2} + 32 x + 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{32}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{64}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{64}$