Precálculo Ejemplos

$\cos^{2} (x) - 2.4 \cos (x) - 0.81 = 0$

Paso 1

Sustituye $u$ por $\cos (x)$ .

${(u)}^{2} - 2.4 u - 0.81 = 0$

Paso 2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 2.4$ y $c = - 0.81$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{2.4 \pm \sqrt{{(- 2.4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 0.81)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Eleva $- 2.4$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{2.4 \pm \sqrt{5.76 - 4 \cdot 1 \cdot - 0.81}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 0.81$ .

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{2.4 \pm \sqrt{5.76 - 4 \cdot - 0.81}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 0.81$ .

$u = \frac{2.4 \pm \sqrt{5.76 + 3.24}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.3

Suma $5.76$ y $3.24$ .

$u = \frac{2.4 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.4

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$u = \frac{2.4 \pm \sqrt{3^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$u = \frac{2.4 \pm 3}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$u = \frac{2.4 \pm 3}{2}$

Paso 5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = 2.7, - 0.3$

Paso 6

Sustituye $\cos (x)$ por $u$ .

$\cos (x) = 2.7, - 0.3$

Paso 7

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\cos (x) = 2.7$

$\cos (x) = - 0.3$

Paso 8

Resuelve $x$ en $\cos (x) = 2.7$ .

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Paso 8.1

El rango del coseno es $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $2.7$ no está dentro de este rango, no hay solución.

No hay solución

Paso 9

Resuelve $x$ en $\cos (x) = - 0.3$ .

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Paso 9.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- 0.3)$

Paso 9.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.1

Evalúa $\arccos (- 0.3)$ .

$x = 1.87548898$

Paso 9.3

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 1.87548898$

Paso 9.4

Resuelve $x$

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Paso 9.4.1

Elimina los paréntesis.

$x = 2 (3.14159265) - 1.87548898$

Paso 9.4.2

Simplifica $2 (3.14159265) - 1.87548898$ .

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Paso 9.4.2.1

Multiplica $2$ por $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.87548898$

Paso 9.4.2.2

Resta $1.87548898$ de $6.2831853$ .

$x = 4.40769632$

Paso 9.5

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 9.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 9.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 9.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 9.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 9.6

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 1.87548898 + 2 π n, 4.40769632 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 10

Enumera todas las soluciones.

$x = 1.87548898 + 2 π n, 4.40769632 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$