Precálculo Ejemplos

$\sin (2 t) = \sqrt{2} \cos (t)$

Paso 1

Resta $\sqrt{2} \cos (t)$ de ambos lados de la ecuación.

$\sin (2 t) - \sqrt{2} \cos (t) = 0$

Paso 2

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$2 \sin (t) \cos (t) - \sqrt{2} \cos (t) = 0$

Paso 3

Factoriza $\cos (t)$ de $2 \sin (t) \cos (t) - \sqrt{2} \cos (t)$ .

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Paso 3.1

Factoriza $\cos (t)$ de $2 \sin (t) \cos (t)$ .

$\cos (t) (2 \sin (t)) - \sqrt{2} \cos (t) = 0$

Paso 3.2

Factoriza $\cos (t)$ de $- \sqrt{2} \cos (t)$ .

$\cos (t) (2 \sin (t)) + \cos (t) (- \sqrt{2}) = 0$

Paso 3.3

Factoriza $\cos (t)$ de $\cos (t) (2 \sin (t)) + \cos (t) (- \sqrt{2})$ .

$\cos (t) (2 \sin (t) - \sqrt{2}) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\cos (t) = 0$

$2 \sin (t) - \sqrt{2} = 0$

Paso 5

Establece $\cos (t)$ igual a $0$ y resuelve $t$ .

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Paso 5.1

Establece $\cos (t)$ igual a $0$ .

$\cos (t) = 0$

Paso 5.2

Resuelve $\cos (t) = 0$ en $t$ .

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Paso 5.2.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $t$ del interior del coseno.

$t = \arccos (0)$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$t = \frac{π}{2}$

Paso 5.2.3

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$t = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 5.2.4

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 5.2.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$t = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 5.2.4.2

Combina fracciones.

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Paso 5.2.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$t = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 5.2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$t = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 5.2.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.4.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$t = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 5.2.4.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$t = \frac{3 π}{2}$

Paso 5.2.5

Obtén el período de $\cos (t)$ .

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Paso 5.2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 5.2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 5.2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 5.2.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 5.2.6

El período de la función $\cos (t)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$t = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6

Establece $2 \sin (t) - \sqrt{2}$ igual a $0$ y resuelve $t$ .

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Paso 6.1

Establece $2 \sin (t) - \sqrt{2}$ igual a $0$ .

$2 \sin (t) - \sqrt{2} = 0$

Paso 6.2

Resuelve $2 \sin (t) - \sqrt{2} = 0$ en $t$ .

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Paso 6.2.1

Suma $\sqrt{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \sin (t) = \sqrt{2}$

Paso 6.2.2

Divide cada término en $2 \sin (t) = \sqrt{2}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.2.2.1

Divide cada término en $2 \sin (t) = \sqrt{2}$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (t)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sin (t)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 6.2.2.2.1.2

Divide $\sin (t)$ por $1$ .

$\sin (t) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 6.2.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $t$ del interior de seno.

$t = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 6.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.4.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ es $\frac{π}{4}$ .

$t = \frac{π}{4}$

Paso 6.2.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$t = π - \frac{π}{4}$

Paso 6.2.6

Simplifica $π - \frac{π}{4}$ .

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Paso 6.2.6.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$t = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 6.2.6.2

Combina fracciones.

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Paso 6.2.6.2.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$t = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 6.2.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$t = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Paso 6.2.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.6.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$t = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Paso 6.2.6.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$t = \frac{3 π}{4}$

Paso 6.2.7

Obtén el período de $\sin (t)$ .

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Paso 6.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 6.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 6.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 6.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 6.2.8

El período de la función $\sin (t)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$t = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $\cos (t) (2 \sin (t) - \sqrt{2}) = 0$ verdadera.

$t = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8

Consolida $\frac{π}{2} + 2 π n$ y $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ en $\frac{π}{2} + π n$ .

$t = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$