Precálculo Ejemplos

$\csc^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Paso 1

Reemplaza $\csc^{2} (u)$ con $\cot^{2} (u) + 1$ según la identidad de $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\cot^{2} (u) + 1) - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Paso 2

Reordena el polinomio.

$\cot^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) + 1 = \cot^{2} (u)$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Simplifica $\cot^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) + 1$ .

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Paso 3.1.1

Mueve $1$ .

$\cot^{2} (u) + 1 - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Paso 3.1.2

Reorganiza los términos.

$1 + \cot^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Paso 3.1.3

Aplica la identidad pitagórica.

$\csc^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Paso 3.1.4

Simplifica los términos.

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Paso 3.1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.4.1.1

Reescribe $\csc (u)$ en términos de senos y cosenos.

${(\frac{1}{\sin (u)})}^{2} - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Paso 3.1.4.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\sin (u)}$ .

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (u)} - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Paso 3.1.4.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Paso 3.1.4.1.4

Reescribe en términos de senos y cosenos, luego, cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.4.1.4.1

Agrega paréntesis.

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - (\cos (u) \sec (u)) = \cot^{2} (u)$

Paso 3.1.4.1.4.2

Reordena $\cos (u)$ y $\sec (u)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - (\sec (u) \cos (u)) = \cot^{2} (u)$

Paso 3.1.4.1.4.3

Reescribe $- \cos (u) \sec (u)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - (\frac{1}{\cos (u)} \cos (u)) = \cot^{2} (u)$

Paso 3.1.4.1.4.4

Cancela los factores comunes.

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - 1 \cdot 1 = \cot^{2} (u)$

Paso 3.1.4.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - 1 = \cot^{2} (u)$

Paso 3.1.4.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.4.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (u)} - 1 = \cot^{2} (u)$

Paso 3.1.4.2.2

Reescribe $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (u)}$ como ${(\frac{1}{\sin (u)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\sin (u)})}^{2} - 1 = \cot^{2} (u)$

Paso 3.1.4.2.3

Convierte de $\frac{1}{\sin (u)}$ a $\csc (u)$ .

$\csc^{2} (u) - 1 = \cot^{2} (u)$

Paso 3.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\cot^{2} (u) = \cot^{2} (u)$

Paso 4

Como los exponentes son iguales, las bases de los exponentes en ambos lados de la ecuación deben ser iguales.

$| \cot (u) | = | \cot (u) |$

Paso 5

Resuelve $u$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación de valor absoluto como cuatro ecuaciones sin barras del valor absoluto.

$\cot (u) = \cot (u)$

$\cot (u) = - \cot (u)$

$- \cot (u) = \cot (u)$

$- \cot (u) = - \cot (u)$

Paso 5.2

Después de simplificar, solo hay dos ecuaciones únicas por resolver.

$\cot (u) = \cot (u)$

$\cot (u) = - \cot (u)$

Paso 5.3

Resuelve $\cot (u) = \cot (u)$ en $u$ .

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Paso 5.3.1

Para que las dos funciones sean iguales, los argumentos de cada una deben ser iguales.

$u = u$

Paso 5.3.2

Mueve todos los términos que contengan $u$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.3.2.1

Resta $u$ de ambos lados de la ecuación.

$u - u = 0$

Paso 5.3.2.2

Resta $u$ de $u$ .

$0 = 0$

Paso 5.3.3

Como $0 = 0$ , la ecuación siempre será verdadera.

Todos los números reales

Paso 5.4

Resuelve $\cot (u) = - \cot (u)$ en $u$ .

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Paso 5.4.1

Mueve todos los términos que contengan $\cot (u)$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.4.1.1

Suma $\cot (u)$ a ambos lados de la ecuación.

$\cot (u) + \cot (u) = 0$

Paso 5.4.1.2

Suma $\cot (u)$ y $\cot (u)$ .

$2 \cot (u) = 0$

Paso 5.4.2

Divide cada término en $2 \cot (u) = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.4.2.1

Divide cada término en $2 \cot (u) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 \cot (u)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 5.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cot (u)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 5.4.2.2.1.2

Divide $\cot (u)$ por $1$ .

$\cot (u) = \frac{0}{2}$

Paso 5.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$\cot (u) = 0$

Paso 5.4.3

Resta la inversa de la cotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $u$ del interior de la cotangente.

$u = arccot (0)$

Paso 5.4.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.4.1

El valor exacto de $arccot (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$u = \frac{π}{2}$

Paso 5.4.5

La función cotangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$u = π + \frac{π}{2}$

Paso 5.4.6

Simplifica $π + \frac{π}{2}$ .

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Paso 5.4.6.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$u = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 5.4.6.2

Combina fracciones.

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Paso 5.4.6.2.1

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$u = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 5.4.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$u = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Paso 5.4.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.6.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$u = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Paso 5.4.6.3.2

Suma $2 π$ y $π$ .

$u = \frac{3 π}{2}$

Paso 5.4.7

Obtén el período de $\cot (u)$ .

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Paso 5.4.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 5.4.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 5.4.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 5.4.7.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 5.4.8

El período de la función $\cot (u)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$u = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6

Consolida las respuestas.

$u = \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$