Precálculo Ejemplos

$(\tan (x) + \sqrt{3}) (\sec (x) - 2) = 0$

Paso 1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\tan (x) + \sqrt{3} = 0$

$\sec (x) - 2 = 0$

Paso 2

Establece $\tan (x) + \sqrt{3}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.1

Establece $\tan (x) + \sqrt{3}$ igual a $0$ .

$\tan (x) + \sqrt{3} = 0$

Paso 2.2

Resuelve $\tan (x) + \sqrt{3} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.2.1

Resta $\sqrt{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

Paso 2.2.2

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (- \sqrt{3})$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

El valor exacto de $\arctan (- \sqrt{3})$ es $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Paso 2.2.4

La función tangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = - \frac{π}{3} - π$

Paso 2.2.5

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 2.2.5.1

Suma $2 π$ a $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Paso 2.2.5.2

El ángulo resultante de $\frac{2 π}{3}$ es positivo y coterminal con $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Paso 2.2.6

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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Paso 2.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 2.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 2.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 2.2.6.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 2.2.7

Suma $π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 2.2.7.1

Suma $π$ y $- \frac{π}{3}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{3} + π$

Paso 2.2.7.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 2.2.7.3

Combina fracciones.

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Paso 2.2.7.3.1

Combina $π$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 2.2.7.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 2.2.7.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.7.4.1

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

Paso 2.2.7.4.2

Resta $π$ de $3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

Paso 2.2.7.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{2 π}{3}$

Paso 2.2.8

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

Establece $\sec (x) - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $\sec (x) - 2$ igual a $0$ .

$\sec (x) - 2 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $\sec (x) - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$\sec (x) = 2$

Paso 3.2.2

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la secante.

$x = arcsec (2)$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

El valor exacto de $arcsec (2)$ es $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Paso 3.2.4

La secante es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Paso 3.2.5

Simplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Paso 3.2.5.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 3.2.5.2

Combina fracciones.

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Paso 3.2.5.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 3.2.5.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 3.2.5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.5.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Paso 3.2.5.3.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Paso 3.2.6

Obtén el período de $\sec (x)$ .

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Paso 3.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 3.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 3.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 3.2.6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 3.2.7

El período de la función $\sec (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(\tan (x) + \sqrt{3}) (\sec (x) - 2) = 0$ verdadera.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5

Consolida $\frac{2 π}{3} + π n$ y $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ en $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$