Precálculo Ejemplos

$(5) (8^{x}) = (6) (11^{x})$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (5 \cdot 8^{x}) = \ln (6 \cdot 11^{x})$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Reescribe $\ln (5 \cdot 8^{x})$ como $\ln (5) + \ln (8^{x})$ .

$\ln (5) + \ln (8^{x}) = \ln (6 \cdot 11^{x})$

Paso 2.2

Expande $\ln (8^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$\ln (5) + x \ln (8) = \ln (6 \cdot 11^{x})$

Paso 3

Expande el lado derecho.

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Paso 3.1

Reescribe $\ln (6 \cdot 11^{x})$ como $\ln (6) + \ln (11^{x})$ .

$\ln (5) + x \ln (8) = \ln (6) + \ln (11^{x})$

Paso 3.2

Expande $\ln (11^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$\ln (5) + x \ln (8) = \ln (6) + x \ln (11)$

Paso 4

Reordena $\ln (5)$ y $x \ln (8)$ .

$x \ln (8) + \ln (5) = \ln (6) + x \ln (11)$

Paso 5

Reordena $\ln (6)$ y $x \ln (11)$ .

$x \ln (8) + \ln (5) = x \ln (11) + \ln (6)$

Paso 6

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$x \ln (8) + \ln (5) - x \ln (11) - \ln (6) = 0$

Paso 7

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (8) - x \ln (11) + \ln (\frac{5}{6}) = 0$

Paso 8

Resta $\ln (\frac{5}{6})$ de ambos lados de la ecuación.

$x \ln (8) - x \ln (11) = - \ln (\frac{5}{6})$

Paso 9

Factoriza $x$ de $x \ln (8) - x \ln (11)$ .

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Paso 9.1

Factoriza $x$ de $x \ln (8)$ .

$x (\ln (8)) - x \ln (11) = - \ln (\frac{5}{6})$

Paso 9.2

Factoriza $x$ de $- x \ln (11)$ .

$x (\ln (8)) + x (- 1 \ln (11)) = - \ln (\frac{5}{6})$

Paso 9.3

Factoriza $x$ de $x (\ln (8)) + x (- 1 \ln (11))$ .

$x (\ln (8) - 1 \ln (11)) = - \ln (\frac{5}{6})$

Paso 10

Reescribe $- 1 \ln (11)$ como $- \ln (11)$ .

$x (\ln (8) - \ln (11)) = - \ln (\frac{5}{6})$

Paso 11

Divide cada término en $x (\ln (8) - \ln (11)) = - \ln (\frac{5}{6})$ por $\ln (8) - \ln (11)$ y simplifica.

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Paso 11.1

Divide cada término en $x (\ln (8) - \ln (11)) = - \ln (\frac{5}{6})$ por $\ln (8) - \ln (11)$ .

$\frac{x (\ln (8) - \ln (11))}{\ln (8) - \ln (11)} = \frac{- \ln (\frac{5}{6})}{\ln (8) - \ln (11)}$

Paso 11.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 11.2.1

Cancela el factor común de $\ln (8) - \ln (11)$ .

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Paso 11.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (\ln (8) - \ln (11))}{\ln (8) - \ln (11)} = \frac{- \ln (\frac{5}{6})}{\ln (8) - \ln (11)}$

Paso 11.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{5}{6})}{\ln (8) - \ln (11)}$

Paso 11.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 11.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{\ln (\frac{5}{6})}{\ln (8) - \ln (11)}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{\ln (\frac{5}{6})}{\ln (8) - \ln (11)}$

Forma decimal:

$x = - 0.57252133 \dots$