Precálculo Ejemplos

$\frac{6^{\frac{3}{2}}}{{(\sqrt{2})}^{3}} = t^{\frac{2}{3}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $t^{\frac{2}{3}} = \frac{6^{\frac{3}{2}}}{{\sqrt{2}}^{3}}$ .

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{6^{\frac{3}{2}}}{{\sqrt{2}}^{3}}$

Paso 2

Mueve los términos que contengan $t$ al lado izquierdo y simplifica.

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Paso 2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.1

Reescribe ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{6^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{2^{3}}}$

Paso 2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{6^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{8}}$

Paso 2.1.3

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 2.1.3.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{6^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{4 (2)}}$

Paso 2.1.3.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{6^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Paso 2.1.4

Retira los términos de abajo del radical.

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{6^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{6^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{6^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 2.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.3.1

Multiplica $\frac{6^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 2.3.2

Mueve $\sqrt{2}$ .

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Paso 2.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Paso 2.3.4

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Paso 2.3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 2.3.6

Suma $1$ y $1$ .

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 2.3.7

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 2.3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.3.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.3.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.7.4.1

Cancela el factor común.

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.3.7.4.2

Reescribe la expresión.

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.3.7.5

Evalúa el exponente.

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{4}$

Paso 3

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{3}{2}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(t^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(\frac{6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{4})}^{\frac{3}{2}}$

Paso 4

Simplifica el exponente.

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Paso 4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1.1

Simplifica ${(t^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 4.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(t^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 4.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(\frac{6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{4})}^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$t^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(\frac{6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{4})}^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$t^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(\frac{6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{4})}^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.1.1.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.1.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$t^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(\frac{6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{4})}^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.1.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$t^{1} = \pm {(\frac{6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{4})}^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.1.1.2

Simplifica.

$t = \pm {(\frac{6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{4})}^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $\pm {(\frac{6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{4})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 4.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{4}$ .

$t = \pm \frac{{(6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2})}^{\frac{3}{2}}}{4^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}$ .

$t = \pm \frac{{(6^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}} {\sqrt{2}}^{\frac{3}{2}}}{4^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(6^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 4.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t = \pm \frac{6^{\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2}} {\sqrt{2}}^{\frac{3}{2}}}{4^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.2.1.2.2

Multiplica $\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2}$ .

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Paso 4.2.1.2.2.1

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{3}{2}$ .

$t = \pm \frac{6^{\frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 2}} {\sqrt{2}}^{\frac{3}{2}}}{4^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.2.1.2.2.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$t = \pm \frac{6^{\frac{9}{2 \cdot 2}} {\sqrt{2}}^{\frac{3}{2}}}{4^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.2.1.2.2.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$t = \pm \frac{6^{\frac{9}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{3}{2}}}{4^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.2.1.3

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$t = \pm \frac{6^{\frac{9}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{3}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.2.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t = \pm \frac{6^{\frac{9}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{3}{2}}}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 4.2.1.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.3.3.1

Cancela el factor común.

$t = \pm \frac{6^{\frac{9}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{3}{2}}}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 4.2.1.3.3.2

Reescribe la expresión.

$t = \pm \frac{6^{\frac{9}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{3}{2}}}{2^{3}}$

Paso 4.2.1.3.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$t = \pm \frac{6^{\frac{9}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{3}{2}}}{8}$

Paso 5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$t = \frac{6^{\frac{9}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{3}{2}}}{8}$

Paso 5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$t = - \frac{6^{\frac{9}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{3}{2}}}{8}$

Paso 5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$t = \frac{6^{\frac{9}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{3}{2}}}{8}, - \frac{6^{\frac{9}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{3}{2}}}{8}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$t = \frac{6^{\frac{9}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{3}{2}}}{8}, - \frac{6^{\frac{9}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{3}{2}}}{8}$

Forma decimal:

$t = 11.84466611 \dots, - 11.84466611 \dots$