Precálculo Ejemplos

$p = \frac{a^{2} R}{{(r + R)}^{2}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $\frac{a^{2} R}{{(r + R)}^{2}} = p$ .

$\frac{a^{2} R}{{(r + R)}^{2}} = p$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

${(r + R)}^{2}, 1$

Paso 2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

${(r + R)}^{2}$

Paso 3

Multiplica cada término en $\frac{a^{2} R}{{(r + R)}^{2}} = p$ por ${(r + R)}^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{a^{2} R}{{(r + R)}^{2}} = p$ por ${(r + R)}^{2}$ .

$\frac{a^{2} R}{{(r + R)}^{2}} {(r + R)}^{2} = p {(r + R)}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de ${(r + R)}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{a^{2} R}{{(r + R)}^{2}} {(r + R)}^{2} = p {(r + R)}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$a^{2} R = p {(r + R)}^{2}$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.1

Simplifica $p {(r + R)}^{2}$ .

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Paso 4.1.1

Reescribe ${(r + R)}^{2}$ como $(r + R) (r + R)$ .

$a^{2} R = p ((r + R) (r + R))$

Paso 4.1.2

Expande $(r + R) (r + R)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$a^{2} R = p (r (r + R) + R (r + R))$

Paso 4.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$a^{2} R = p (r \cdot r + r R + R (r + R))$

Paso 4.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$a^{2} R = p (r \cdot r + r R + R r + R \cdot R)$

Paso 4.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.3.1.1

Multiplica $r$ por $r$ .

$a^{2} R = p (r^{2} + r R + R r + R \cdot R)$

Paso 4.1.3.1.2

Multiplica $R$ por $R$ .

$a^{2} R = p (r^{2} + r R + R r + R^{2})$

Paso 4.1.3.2

Suma $r R$ y $R r$ .

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Paso 4.1.3.2.1

Reordena $R$ y $r$ .

$a^{2} R = p (r^{2} + r R + r R + R^{2})$

Paso 4.1.3.2.2

Suma $r R$ y $r R$ .

$a^{2} R = p (r^{2} + 2 r R + R^{2})$

Paso 4.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$a^{2} R = p r^{2} + p (2 r R) + p R^{2}$

Paso 4.1.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$a^{2} R = p r^{2} + 2 p r R + p R^{2}$

Paso 4.2

Como $R$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$p r^{2} + 2 p r R + p R^{2} = a^{2} R$

Paso 4.3

Resta $a^{2} R$ de ambos lados de la ecuación.

$p r^{2} + 2 p r R + p R^{2} - a^{2} R = 0$

Paso 4.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.5

Sustituye los valores $a = p$ , $b = 2 p r - a^{2}$ y $c = p r^{2}$ en la fórmula cuadrática y resuelve $R$ .

$\frac{- (2 p r - a^{2}) \pm \sqrt{{(2 p r - a^{2})}^{2} - 4 \cdot (p \cdot (p r^{2}))}}{2 p}$

Paso 4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$R = \frac{- (2 p r) + a^{2} \pm \sqrt{{(2 p r - a^{2})}^{2} - 4 \cdot p \cdot (p r^{2})}}{2 p}$

Paso 4.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$R = \frac{- 2 (p r) + a^{2} \pm \sqrt{{(2 p r - a^{2})}^{2} - 4 \cdot p \cdot (p r^{2})}}{2 p}$

Paso 4.6.3

Multiplica $- - a^{2}$ .

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Paso 4.6.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$R = \frac{- 2 (p r) + 1 a^{2} \pm \sqrt{{(2 p r - a^{2})}^{2} - 4 \cdot p \cdot (p r^{2})}}{2 p}$

Paso 4.6.3.2

Multiplica $a^{2}$ por $1$ .

$R = \frac{- 2 (p r) + a^{2} \pm \sqrt{{(2 p r - a^{2})}^{2} - 4 \cdot p \cdot (p r^{2})}}{2 p}$

Paso 4.6.4

Reescribe $4 \cdot p \cdot (p r^{2})$ como ${(2 p r)}^{2}$ .

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{{(2 p r - a^{2})}^{2} - {(2 p r)}^{2}}}{2 p}$

Paso 4.6.5

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 p r - a^{2}$ y $b = 2 p r$ .

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{(2 p r - a^{2} + 2 p r) (2 p r - a^{2} - (2 p r))}}{2 p}$

Paso 4.6.6

Simplifica.

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Paso 4.6.6.1

Suma $2 p r$ y $2 p r$ .

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{(- a^{2} + 4 p r) (2 p r - a^{2} - (2 p r))}}{2 p}$

Paso 4.6.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{(- a^{2} + 4 p r) (2 p r - a^{2} - 2 (p r))}}{2 p}$

Paso 4.6.6.3

Resta $2 p r$ de $2 p r$ .

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{(- a^{2} + 4 p r) (- a^{2} + 0)}}{2 p}$

Paso 4.6.6.4

Suma $- a^{2}$ y $0$ .

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{(- a^{2} + 4 p r) \cdot (- 1 a^{2})}}{2 p}$

Paso 4.6.6.5

Factoriza el negativo.

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{- ((- a^{2} + 4 p r) a^{2})}}{2 p}$

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{- (- a^{2} + 4 p r) a^{2}}}{2 p}$

Paso 4.6.7

Reescribe $- (- a^{2} + 4 p r) a^{2}$ como $a^{2} \cdot (- (- a^{2} + 2^{2} p r))$ .

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Paso 4.6.7.1

Mueve $- a^{2} + 4 p r$ .

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{- 1 a^{2} (- a^{2} + 4 p r)}}{2 p}$

Paso 4.6.7.2

Reordena $- 1$ y $a^{2}$ .

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{a^{2} \cdot (- 1 (- a^{2} + 4 p r))}}{2 p}$

Paso 4.6.7.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{a^{2} \cdot (- 1 (- a^{2} + 2^{2} p r))}}{2 p}$

Paso 4.6.7.4

Agrega paréntesis.

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{a^{2} \cdot (- (- a^{2} + 2^{2} p r))}}{2 p}$

Paso 4.6.8

Retira los términos de abajo del radical.

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm a \sqrt{- (- a^{2} + 2^{2} p r)}}{2 p}$

Paso 4.6.9

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm a \sqrt{- (- a^{2} + 4 p r)}}{2 p}$

Paso 4.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$R = - \frac{2 p r - a^{2} - a \sqrt{- (- a^{2} + 4 p r)}}{2 p}$

$R = - \frac{2 p r - a^{2} + a \sqrt{- (- a^{2} + 4 p r)}}{2 p}$

$R = - \frac{2 p r - a^{2} - a \sqrt{- (- a^{2} + 4 p r)}}{2 p}$

$R = - \frac{2 p r - a^{2} + a \sqrt{- (- a^{2} + 4 p r)}}{2 p}$