Precálculo Ejemplos

$20000 {(0.92)}^{t} = 16000 {(0.93)}^{t}$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (20000 \cdot {0.92}^{t}) = \ln (16000 \cdot {0.93}^{t})$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Reescribe $\ln (20000 \cdot {0.92}^{t})$ como $\ln (20000) + \ln ({0.92}^{t})$ .

$\ln (20000) + \ln ({0.92}^{t}) = \ln (16000 \cdot {0.93}^{t})$

Paso 2.2

Expande $\ln ({0.92}^{t})$ ; para ello, mueve $t$ fuera del logaritmo.

$\ln (20000) + t \ln (0.92) = \ln (16000 \cdot {0.93}^{t})$

Paso 3

Expande el lado derecho.

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Paso 3.1

Reescribe $\ln (16000 \cdot {0.93}^{t})$ como $\ln (16000) + \ln ({0.93}^{t})$ .

$\ln (20000) + t \ln (0.92) = \ln (16000) + \ln ({0.93}^{t})$

Paso 3.2

Expande $\ln ({0.93}^{t})$ ; para ello, mueve $t$ fuera del logaritmo.

$\ln (20000) + t \ln (0.92) = \ln (16000) + t \ln (0.93)$

Paso 4

Reordena $\ln (20000)$ y $t \ln (0.92)$ .

$t \ln (0.92) + \ln (20000) = \ln (16000) + t \ln (0.93)$

Paso 5

Reordena $\ln (16000)$ y $t \ln (0.93)$ .

$t \ln (0.92) + \ln (20000) = t \ln (0.93) + \ln (16000)$

Paso 6

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$t \ln (0.92) + \ln (20000) - t \ln (0.93) - \ln (16000) = 0$

Paso 7

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$t \ln (0.92) - t \ln (0.93) + \ln (\frac{20000}{16000}) = 0$

Paso 8

Cancela el factor común de $20000$ y $16000$ .

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Paso 8.1

Factoriza $4000$ de $20000$ .

$t \ln (0.92) - t \ln (0.93) + \ln (\frac{4000 (5)}{16000}) = 0$

Paso 8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.1

Factoriza $4000$ de $16000$ .

$t \ln (0.92) - t \ln (0.93) + \ln (\frac{4000 \cdot 5}{4000 \cdot 4}) = 0$

Paso 8.2.2

Cancela el factor común.

$t \ln (0.92) - t \ln (0.93) + \ln (\frac{4000 \cdot 5}{4000 \cdot 4}) = 0$

Paso 8.2.3

Reescribe la expresión.

$t \ln (0.92) - t \ln (0.93) + \ln (\frac{5}{4}) = 0$

Paso 9

Resta $\ln (\frac{5}{4})$ de ambos lados de la ecuación.

$t \ln (0.92) - t \ln (0.93) = - \ln (\frac{5}{4})$

Paso 10

Factoriza $t$ de $t \ln (0.92) - t \ln (0.93)$ .

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Paso 10.1

Factoriza $t$ de $t \ln (0.92)$ .

$t (\ln (0.92)) - t \ln (0.93) = - \ln (\frac{5}{4})$

Paso 10.2

Factoriza $t$ de $- t \ln (0.93)$ .

$t (\ln (0.92)) + t (- 1 \ln (0.93)) = - \ln (\frac{5}{4})$

Paso 10.3

Factoriza $t$ de $t (\ln (0.92)) + t (- 1 \ln (0.93))$ .

$t (\ln (0.92) - 1 \ln (0.93)) = - \ln (\frac{5}{4})$

Paso 11

Reescribe $- 1 \ln (0.93)$ como $- \ln (0.93)$ .

$t (\ln (0.92) - \ln (0.93)) = - \ln (\frac{5}{4})$

Paso 12

Divide cada término en $t (\ln (0.92) - \ln (0.93)) = - \ln (\frac{5}{4})$ por $\ln (0.92) - \ln (0.93)$ y simplifica.

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Paso 12.1

Divide cada término en $t (\ln (0.92) - \ln (0.93)) = - \ln (\frac{5}{4})$ por $\ln (0.92) - \ln (0.93)$ .

$\frac{t (\ln (0.92) - \ln (0.93))}{\ln (0.92) - \ln (0.93)} = \frac{- \ln (\frac{5}{4})}{\ln (0.92) - \ln (0.93)}$

Paso 12.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 12.2.1

Cancela el factor común de $\ln (0.92) - \ln (0.93)$ .

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Paso 12.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{t (\ln (0.92) - \ln (0.93))}{\ln (0.92) - \ln (0.93)} = \frac{- \ln (\frac{5}{4})}{\ln (0.92) - \ln (0.93)}$

Paso 12.2.1.2

Divide $t$ por $1$ .

$t = \frac{- \ln (\frac{5}{4})}{\ln (0.92) - \ln (0.93)}$

Paso 12.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 12.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$t = - \frac{\ln (\frac{5}{4})}{\ln (0.92) - \ln (0.93)}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$t = - \frac{\ln (\frac{5}{4})}{\ln (0.92) - \ln (0.93)}$

Forma decimal:

$t = 20.64057746 \dots$