Precálculo Ejemplos

$4 e^{6 t} = 6 e^{5 t}$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (4 e^{6 t}) = \ln (6 e^{5 t})$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Reescribe $\ln (4 e^{6 t})$ como $\ln (4) + \ln (e^{6 t})$ .

$\ln (4) + \ln (e^{6 t}) = \ln (6 e^{5 t})$

Paso 2.2

Expande $\ln (e^{6 t})$ ; para ello, mueve $6 t$ fuera del logaritmo.

$\ln (4) + 6 t \ln (e) = \ln (6 e^{5 t})$

Paso 2.3

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\ln (4) + 6 t \cdot 1 = \ln (6 e^{5 t})$

Paso 2.4

Multiplica $6$ por $1$ .

$\ln (4) + 6 t = \ln (6 e^{5 t})$

Paso 3

Expande el lado derecho.

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Paso 3.1

Reescribe $\ln (6 e^{5 t})$ como $\ln (6) + \ln (e^{5 t})$ .

$\ln (4) + 6 t = \ln (6) + \ln (e^{5 t})$

Paso 3.2

Expande $\ln (e^{5 t})$ ; para ello, mueve $5 t$ fuera del logaritmo.

$\ln (4) + 6 t = \ln (6) + 5 t \ln (e)$

Paso 3.3

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\ln (4) + 6 t = \ln (6) + 5 t \cdot 1$

Paso 3.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$\ln (4) + 6 t = \ln (6) + 5 t$

Paso 4

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (4) - \ln (6) = - 6 t + 5 t$

Paso 5

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{4}{6}) = - 6 t + 5 t$

Paso 6

Cancela el factor común de $4$ y $6$ .

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Paso 6.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\ln (\frac{2 (2)}{6}) = - 6 t + 5 t$

Paso 6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\ln (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}) = - 6 t + 5 t$

Paso 6.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}) = - 6 t + 5 t$

Paso 6.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (\frac{2}{3}) = - 6 t + 5 t$

Paso 7

Suma $- 6 t$ y $5 t$ .

$\ln (\frac{2}{3}) = - t$

Paso 8

Como $t$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$- t = \ln (\frac{2}{3})$

Paso 9

Divide cada término en $- t = \ln (\frac{2}{3})$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 9.1

Divide cada término en $- t = \ln (\frac{2}{3})$ por $- 1$ .

$\frac{- t}{- 1} = \frac{\ln (\frac{2}{3})}{- 1}$

Paso 9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{t}{1} = \frac{\ln (\frac{2}{3})}{- 1}$

Paso 9.2.2

Divide $t$ por $1$ .

$t = \frac{\ln (\frac{2}{3})}{- 1}$

Paso 9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\ln (\frac{2}{3})}{- 1}$ .

$t = - 1 \cdot \ln (\frac{2}{3})$

Paso 9.3.2

Reescribe $- 1 \cdot \ln (\frac{2}{3})$ como $- \ln (\frac{2}{3})$ .

$t = - \ln (\frac{2}{3})$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$t = - \ln (\frac{2}{3})$

Forma decimal:

$t = 0.40546510 \dots$