Precálculo Ejemplos

${(\frac{e^{x} + e^{- x}}{2})}^{2} - {(\frac{e^{x} - e^{- x}}{2})}^{2}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}{2^{2}} - {(\frac{e^{x} - e^{- x}}{2})}^{2}$

Paso 1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}{4} - {(\frac{e^{x} - e^{- x}}{2})}^{2}$

Paso 1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}{4} - \frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{2^{2}}$

Paso 1.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}{4} - \frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Paso 2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Paso 3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1

Reescribe ${(e^{x} + e^{- x})}^{2}$ como $(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x})$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x}) - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Paso 3.2

Expande $(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{x} (e^{x} + e^{- x}) + e^{- x} (e^{x} + e^{- x}) - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Paso 3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{x} e^{x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} (e^{x} + e^{- x}) - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Paso 3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{x} e^{x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Paso 3.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Multiplica $e^{x}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{e^{x + x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Paso 3.3.1.1.2

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{e^{2 x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $e^{x}$ por $e^{- x}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{e^{2 x} + e^{x - x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Paso 3.3.1.2.2

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{e^{2 x} + e^{0} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Paso 3.3.1.3

Simplifica $e^{0}$ .

$\frac{e^{2 x} + 1 + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $e^{- x}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.4.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{e^{2 x} + 1 + e^{- x + x} + e^{- x} e^{- x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Paso 3.3.1.4.2

Suma $- x$ y $x$ .

$\frac{e^{2 x} + 1 + e^{0} + e^{- x} e^{- x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Paso 3.3.1.5

Simplifica $e^{0}$ .

$\frac{e^{2 x} + 1 + 1 + e^{- x} e^{- x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Paso 3.3.1.6

Multiplica $e^{- x}$ por $e^{- x}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.6.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{e^{2 x} + 1 + 1 + e^{- x - x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Paso 3.3.1.6.2

Resta $x$ de $- x$ .

$\frac{e^{2 x} + 1 + 1 + e^{- 2 x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Paso 3.3.2

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Paso 3.4

Reescribe ${(e^{x} - e^{- x})}^{2}$ como $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ .

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - ((e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x}))}{4}$

Paso 3.5

Expande $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{x} (e^{x} - e^{- x}) - e^{- x} (e^{x} - e^{- x}))}{4}$

Paso 3.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} (e^{x} - e^{- x}))}{4}$

Paso 3.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

Paso 3.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.6.1.1

Multiplica $e^{x}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.6.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{x + x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

Paso 3.6.1.1.2

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

Paso 3.6.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - e^{x} e^{- x} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

Paso 3.6.1.3

Multiplica $e^{x}$ por $e^{- x}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.6.1.3.1

Mueve $e^{- x}$ .

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - (e^{- x} e^{x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

Paso 3.6.1.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - e^{- x + x} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

Paso 3.6.1.3.3

Suma $- x$ y $x$ .

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - e^{0} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

Paso 3.6.1.4

Simplifica $- e^{0}$ .

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

Paso 3.6.1.5

Multiplica $e^{- x}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.6.1.5.1

Mueve $e^{x}$ .

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - (e^{x} e^{- x}) - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

Paso 3.6.1.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - e^{x - x} - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

Paso 3.6.1.5.3

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - e^{0} - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

Paso 3.6.1.6

Simplifica $- e^{0}$ .

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - 1 - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

Paso 3.6.1.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- x} e^{- x})}{4}$

Paso 3.6.1.8

Multiplica $e^{- x}$ por $e^{- x}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.6.1.8.1

Mueve $e^{- x}$ .

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 (e^{- x} e^{- x}))}{4}$

Paso 3.6.1.8.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- x - x})}{4}$

Paso 3.6.1.8.3

Resta $x$ de $- x$ .

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- 2 x})}{4}$

Paso 3.6.1.9

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - 1 + 1 e^{- 2 x})}{4}$

Paso 3.6.1.10

Multiplica $e^{- 2 x}$ por $1$ .

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - 1 + e^{- 2 x})}{4}$

Paso 3.6.2

Resta $1$ de $- 1$ .

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 2 + e^{- 2 x})}{4}$

Paso 3.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - e^{2 x} - - 2 - e^{- 2 x}}{4}$

Paso 3.8

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - e^{2 x} + 2 - e^{- 2 x}}{4}$

Paso 4

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 4.1

Combina los términos opuestos en $e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - e^{2 x} + 2 - e^{- 2 x}$ .

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Paso 4.1.1

Resta $e^{2 x}$ de $e^{2 x}$ .

$\frac{0 + 2 + e^{- 2 x} + 2 - e^{- 2 x}}{4}$

Paso 4.1.2

Suma $0$ y $2$ .

$\frac{2 + e^{- 2 x} + 2 - e^{- 2 x}}{4}$

Paso 4.1.3

Resta $e^{- 2 x}$ de $e^{- 2 x}$ .

$\frac{2 + 0 + 2}{4}$

Paso 4.1.4

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{2 + 2}{4}$

Paso 4.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.1

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{4}{4}$

Paso 4.2.2

Divide $4$ por $4$ .

$1$