Precálculo Ejemplos

$(x - 2) (x - 2) (x - 3 i) (x + 3 i)$

Paso 1

Expande $(x - 2) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(x (x - 2) - 2 (x - 2)) (x - 3 i) (x + 3 i)$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) (x - 3 i) (x + 3 i)$

Paso 1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (x - 3 i) (x + 3 i)$

Paso 2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$(x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (x - 3 i) (x + 3 i)$

Paso 2.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$(x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) (x - 3 i) (x + 3 i)$

Paso 2.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$(x^{2} - 2 x - 2 x + 4) (x - 3 i) (x + 3 i)$

Paso 2.2

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) (x - 3 i) (x + 3 i)$

Paso 3

Expande $(x^{2} - 4 x + 4) (x - 3 i)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$(x^{2} x + x^{2} (- 3 i) - 4 x \cdot x - 4 x (- 3 i) + 4 x + 4 (- 3 i)) (x + 3 i)$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 4.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(x^{2} x^{1} + x^{2} (- 3 i) - 4 x \cdot x - 4 x (- 3 i) + 4 x + 4 (- 3 i)) (x + 3 i)$

Paso 4.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(x^{2 + 1} + x^{2} (- 3 i) - 4 x \cdot x - 4 x (- 3 i) + 4 x + 4 (- 3 i)) (x + 3 i)$

Paso 4.1.2

Suma $2$ y $1$ .

$(x^{3} + x^{2} (- 3 i) - 4 x \cdot x - 4 x (- 3 i) + 4 x + 4 (- 3 i)) (x + 3 i)$

Paso 4.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1

Mueve $x$ .

$(x^{3} + x^{2} (- 3 i) - 4 (x \cdot x) - 4 x (- 3 i) + 4 x + 4 (- 3 i)) (x + 3 i)$

Paso 4.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$(x^{3} + x^{2} (- 3 i) - 4 x^{2} - 4 x (- 3 i) + 4 x + 4 (- 3 i)) (x + 3 i)$

Paso 4.3

Multiplica $- 3$ por $- 4$ .

$(x^{3} + x^{2} (- 3 i) - 4 x^{2} + 12 x i + 4 x + 4 (- 3 i)) (x + 3 i)$

Paso 4.4

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$(x^{3} + x^{2} (- 3 i) - 4 x^{2} + 12 x i + 4 x - 12 i) (x + 3 i)$

Paso 5

Expande $(x^{3} + x^{2} (- 3 i) - 4 x^{2} + 12 x i + 4 x - 12 i) (x + 3 i)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$x^{3} x + x^{3} (3 i) + x^{2} (- 3 i) x + x^{2} (- 3 i) (3 i) - 4 x^{2} x - 4 x^{2} (3 i) + 12 x i x + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.1.1

Multiplica $x^{3}$ por $x$ .

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Paso 6.1.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{3} x^{1} + x^{3} (3 i) + x^{2} (- 3 i) x + x^{2} (- 3 i) (3 i) - 4 x^{2} x - 4 x^{2} (3 i) + 12 x i x + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Paso 6.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{3 + 1} + x^{3} (3 i) + x^{2} (- 3 i) x + x^{2} (- 3 i) (3 i) - 4 x^{2} x - 4 x^{2} (3 i) + 12 x i x + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Paso 6.1.1.2

Suma $3$ y $1$ .

$x^{4} + x^{3} (3 i) + x^{2} (- 3 i) x + x^{2} (- 3 i) (3 i) - 4 x^{2} x - 4 x^{2} (3 i) + 12 x i x + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Paso 6.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$x^{4} + 3 \cdot x^{3} i + x^{2} (- 3 i) x + x^{2} (- 3 i) (3 i) - 4 x^{2} x - 4 x^{2} (3 i) + 12 x i x + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Paso 6.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.3.1

Mueve $x$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x \cdot x^{2} (- 3 i) + x^{2} (- 3 i) (3 i) - 4 x^{2} x - 4 x^{2} (3 i) + 12 x i x + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Paso 6.1.3.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 6.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{1} x^{2} (- 3 i) + x^{2} (- 3 i) (3 i) - 4 x^{2} x - 4 x^{2} (3 i) + 12 x i x + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Paso 6.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{1 + 2} (- 3 i) + x^{2} (- 3 i) (3 i) - 4 x^{2} x - 4 x^{2} (3 i) + 12 x i x + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Paso 6.1.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + x^{2} (- 3 i) (3 i) - 4 x^{2} x - 4 x^{2} (3 i) + 12 x i x + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Paso 6.1.4

Multiplica $x^{2} (- 3 i) (3 i)$ .

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Paso 6.1.4.1

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + x^{2} (- 9 i) i - 4 x^{2} x - 4 x^{2} (3 i) + 12 x i x + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Paso 6.1.4.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + x^{2} (- 9 (i^{1} i)) - 4 x^{2} x - 4 x^{2} (3 i) + 12 x i x + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Paso 6.1.4.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + x^{2} (- 9 (i^{1} i^{1})) - 4 x^{2} x - 4 x^{2} (3 i) + 12 x i x + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Paso 6.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + x^{2} (- 9 i^{1 + 1}) - 4 x^{2} x - 4 x^{2} (3 i) + 12 x i x + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Paso 6.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + x^{2} (- 9 i^{2}) - 4 x^{2} x - 4 x^{2} (3 i) + 12 x i x + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Paso 6.1.5

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + x^{2} (- 9 \cdot - 1) - 4 x^{2} x - 4 x^{2} (3 i) + 12 x i x + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Paso 6.1.6

Multiplica $- 9$ por $- 1$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + x^{2} \cdot 9 - 4 x^{2} x - 4 x^{2} (3 i) + 12 x i x + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Paso 6.1.7

Mueve $9$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 \cdot x^{2} - 4 x^{2} x - 4 x^{2} (3 i) + 12 x i x + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Paso 6.1.8

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.8.1

Mueve $x$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 (x \cdot x^{2}) - 4 x^{2} (3 i) + 12 x i x + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Paso 6.1.8.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 6.1.8.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 (x^{1} x^{2}) - 4 x^{2} (3 i) + 12 x i x + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Paso 6.1.8.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{1 + 2} - 4 x^{2} (3 i) + 12 x i x + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Paso 6.1.8.3

Suma $1$ y $2$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 4 x^{2} (3 i) + 12 x i x + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Paso 6.1.9

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x i x + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Paso 6.1.10

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.10.1

Mueve $x$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 (x \cdot x) i + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Paso 6.1.10.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x^{2} i + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Paso 6.1.11

Multiplica $12 x i (3 i)$ .

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Paso 6.1.11.1

Multiplica $3$ por $12$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x^{2} i + 36 x i i + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Paso 6.1.11.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x^{2} i + 36 x (i^{1} i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Paso 6.1.11.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x^{2} i + 36 x (i^{1} i^{1}) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Paso 6.1.11.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x^{2} i + 36 x i^{1 + 1} + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Paso 6.1.11.5

Suma $1$ y $1$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x^{2} i + 36 x i^{2} + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Paso 6.1.12

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x^{2} i + 36 x \cdot - 1 + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Paso 6.1.13

Multiplica $- 1$ por $36$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x^{2} i - 36 x + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Paso 6.1.14

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.14.1

Mueve $x$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x^{2} i - 36 x + 4 (x \cdot x) + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Paso 6.1.14.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x^{2} i - 36 x + 4 x^{2} + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Paso 6.1.15

Multiplica $3$ por $4$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x^{2} i - 36 x + 4 x^{2} + 12 x i - 12 i x - 12 i (3 i)$

Paso 6.1.16

Multiplica $- 12 i (3 i)$ .

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Paso 6.1.16.1

Multiplica $3$ por $- 12$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x^{2} i - 36 x + 4 x^{2} + 12 x i - 12 i x - 36 i i$

Paso 6.1.16.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x^{2} i - 36 x + 4 x^{2} + 12 x i - 12 i x - 36 (i^{1} i)$

Paso 6.1.16.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x^{2} i - 36 x + 4 x^{2} + 12 x i - 12 i x - 36 (i^{1} i^{1})$

Paso 6.1.16.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x^{2} i - 36 x + 4 x^{2} + 12 x i - 12 i x - 36 i^{1 + 1}$

Paso 6.1.16.5

Suma $1$ y $1$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x^{2} i - 36 x + 4 x^{2} + 12 x i - 12 i x - 36 i^{2}$

Paso 6.1.17

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x^{2} i - 36 x + 4 x^{2} + 12 x i - 12 i x - 36 \cdot - 1$

Paso 6.1.18

Multiplica $- 36$ por $- 1$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x^{2} i - 36 x + 4 x^{2} + 12 x i - 12 i x + 36$

Paso 6.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 6.2.1

Combina los términos opuestos en $x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x^{2} i - 36 x + 4 x^{2} + 12 x i - 12 i x + 36$ .

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Paso 6.2.1.1

Reordena los factores en los términos $3 x^{3} i$ y $x^{3} (- 3 i)$ .

$x^{4} + 3 i x^{3} - 3 i x^{3} + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x^{2} i - 36 x + 4 x^{2} + 12 x i - 12 i x + 36$

Paso 6.2.1.2

Resta $3 i x^{3}$ de $3 i x^{3}$ .

$x^{4} + 0 + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x^{2} i - 36 x + 4 x^{2} + 12 x i - 12 i x + 36$

Paso 6.2.1.3

Suma $x^{4}$ y $0$ .

$x^{4} + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x^{2} i - 36 x + 4 x^{2} + 12 x i - 12 i x + 36$

Paso 6.2.1.4

Suma $- 12 x^{2} i$ y $12 x^{2} i$ .

$x^{4} + 9 x^{2} - 4 x^{3} + 0 - 36 x + 4 x^{2} + 12 x i - 12 i x + 36$

Paso 6.2.1.5

Suma $x^{4} + 9 x^{2} - 4 x^{3}$ y $0$ .

$x^{4} + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 36 x + 4 x^{2} + 12 x i - 12 i x + 36$

Paso 6.2.1.6

Reordena los factores en los términos $12 x i$ y $- 12 i x$ .

$x^{4} + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 36 x + 4 x^{2} + 12 i x - 12 i x + 36$

Paso 6.2.1.7

Resta $12 i x$ de $12 i x$ .

$x^{4} + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 36 x + 4 x^{2} + 0 + 36$

Paso 6.2.1.8

Suma $x^{4} + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 36 x + 4 x^{2}$ y $0$ .

$x^{4} + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 36 x + 4 x^{2} + 36$

Paso 6.2.2

Suma $9 x^{2}$ y $4 x^{2}$ .

$x^{4} + 13 x^{2} - 4 x^{3} - 36 x + 36$

Paso 6.2.3

Mueve $13 x^{2}$ .

$x^{4} - 4 x^{3} + 13 x^{2} - 36 x + 36$