Precálculo Ejemplos

$\sec (θ) \tan (θ) - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Reescribe $\sec (θ)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1}{\cos (θ)} \tan (θ) - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Paso 1.1.2

Reescribe $\tan (θ)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Paso 1.1.3

Multiplica $\frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

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Paso 1.1.3.1

Multiplica $\frac{1}{\cos (θ)}$ por $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ) \cos (θ)} - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Paso 1.1.3.2

Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{1} (θ) \cos (θ)} - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Paso 1.1.3.3

Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)} - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Paso 1.1.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sin (θ)}{{\cos (θ)}^{1 + 1}} - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Paso 1.1.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Paso 1.1.4

Reescribe $\cot (θ)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ)$

Paso 1.1.5

Multiplica $- \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

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Paso 1.1.5.1

Combina $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ y $\cos (θ)$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ)$

Paso 1.1.5.2

Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ)$

Paso 1.1.5.3

Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ)$

Paso 1.1.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{{\cos (θ)}^{1 + 1}}{\sin (θ)} = \sin (θ)$

Paso 1.1.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ)$

Paso 2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) (\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Paso 3

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) (- \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Paso 4

Multiplica $\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ .

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Paso 4.1

Combina $\sin (θ)$ y $\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) (- \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Paso 4.2

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin^{1} (θ) \sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) (- \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Paso 4.3

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) (- \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Paso 4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{\sin (θ)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) (- \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Paso 4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) (- \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Paso 5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \sin (θ)$

Paso 6

Cancela el factor común de $\sin (θ)$ .

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Paso 6.1

Factoriza $\sin (θ)$ de $- \sin (θ)$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) \cdot - 1 \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \sin (θ)$

Paso 6.2

Cancela el factor común.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) \cdot - 1 \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \sin (θ)$

Paso 6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) = \sin (θ) \sin (θ)$

Paso 7

Multiplica $\sin (θ) \sin (θ)$ .

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Paso 7.1

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) = \sin^{1} (θ) \sin (θ)$

Paso 7.2

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) = \sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)$

Paso 7.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) = {\sin (θ)}^{1 + 1}$

Paso 7.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) = \sin^{2} (θ)$

Paso 8

Resta $\sin^{2} (θ)$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ) = 0$

Paso 9

Simplifica $\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$ .

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Paso 9.1

Factoriza $- 1$ de $- \cos^{2} (θ)$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - (\cos^{2} (θ)) - \sin^{2} (θ) = 0$

Paso 9.2

Factoriza $- 1$ de $- \sin^{2} (θ)$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - (\cos^{2} (θ)) - (\sin^{2} (θ)) = 0$

Paso 9.3

Factoriza $- 1$ de $- (\cos^{2} (θ)) - (\sin^{2} (θ))$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - (\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)) = 0$

Paso 9.4

Reorganiza los términos.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) = 0$

Paso 9.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - 1 \cdot 1 = 0$

Paso 9.6

Simplifica cada término.

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Paso 9.6.1

Convierte de $\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ a $\tan^{2} (θ)$ .

$\tan^{2} (θ) - 1 \cdot 1 = 0$

Paso 9.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\tan^{2} (θ) - 1 = 0$

Paso 10

Resuelve $θ$

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Paso 10.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\tan^{2} (θ) = 1$

Paso 10.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (θ) = \pm \sqrt{1}$

Paso 10.3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\tan (θ) = \pm 1$

Paso 10.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 10.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\tan (θ) = 1$

Paso 10.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\tan (θ) = - 1$

Paso 10.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\tan (θ) = 1, - 1$

Paso 10.5

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $θ$ .

$\tan (θ) = 1$

$\tan (θ) = - 1$

Paso 10.6

Resuelve $θ$ en $\tan (θ) = 1$ .

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Paso 10.6.1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de la tangente.

$θ = \arctan (1)$

Paso 10.6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.6.2.1

El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Paso 10.6.3

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$θ = π + \frac{π}{4}$

Paso 10.6.4

Simplifica $π + \frac{π}{4}$ .

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Paso 10.6.4.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$θ = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 10.6.4.2

Combina fracciones.

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Paso 10.6.4.2.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 10.6.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$θ = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Paso 10.6.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 10.6.4.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$θ = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Paso 10.6.4.3.2

Suma $4 π$ y $π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Paso 10.6.5

Obtén el período de $\tan (θ)$ .

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Paso 10.6.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 10.6.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 10.6.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 10.6.5.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 10.6.6

El período de la función $\tan (θ)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 10.7

Resuelve $θ$ en $\tan (θ) = - 1$ .

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Paso 10.7.1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de la tangente.

$θ = \arctan (- 1)$

Paso 10.7.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.7.2.1

El valor exacto de $\arctan (- 1)$ es $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Paso 10.7.3

La función tangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$θ = - \frac{π}{4} - π$

Paso 10.7.4

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 10.7.4.1

Suma $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$θ = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Paso 10.7.4.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{4}$ es positivo y coterminal con $- \frac{π}{4} - π$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Paso 10.7.5

Obtén el período de $\tan (θ)$ .

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Paso 10.7.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 10.7.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 10.7.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 10.7.5.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 10.7.6

Suma $π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 10.7.6.1

Suma $π$ y $- \frac{π}{4}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Paso 10.7.6.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 10.7.6.3

Combina fracciones.

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Paso 10.7.6.3.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 10.7.6.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Paso 10.7.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 10.7.6.4.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Paso 10.7.6.4.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Paso 10.7.6.5

Enumera los nuevos ángulos.

$θ = \frac{3 π}{4}$

Paso 10.7.7

El período de la función $\tan (θ)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 10.8

Enumera todas las soluciones.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 10.9

Consolida las respuestas.

$θ = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$