Precálculo Ejemplos

$\tan (\frac{x}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$\frac{x}{4} = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1

El valor exacto de $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ es $\frac{π}{6}$ .

$\frac{x}{4} = \frac{π}{6}$

Paso 3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $4$ .

$4 \frac{x}{4} = 4 \frac{π}{6}$

Paso 4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.1.1.1

Cancela el factor común.

$4 \frac{x}{4} = 4 \frac{π}{6}$

Paso 4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 4 \frac{π}{6}$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $4 \frac{π}{6}$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = 2 (2) \frac{π}{6}$

Paso 4.2.1.1.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$x = 2 \cdot 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

Paso 4.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$x = 2 \cdot 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

Paso 4.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$x = 2 \frac{π}{3}$

Paso 4.2.1.2

Combina $2$ y $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Paso 5

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$\frac{x}{4} = π + \frac{π}{6}$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $4$ .

$4 \frac{x}{4} = 4 (π + \frac{π}{6})$

Paso 6.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 6.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$4 \frac{x}{4} = 4 (π + \frac{π}{6})$

Paso 6.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 4 (π + \frac{π}{6})$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica $4 (π + \frac{π}{6})$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x = 4 (π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6})$

Paso 6.2.2.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 6.2.2.1.2.1

Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$x = 4 (\frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6})$

Paso 6.2.2.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = 4 \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Paso 6.2.2.1.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.2.1.2.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = 2 (2) \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Paso 6.2.2.1.2.3.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$x = 2 \cdot 2 \frac{π \cdot 6 + π}{2 \cdot 3}$

Paso 6.2.2.1.2.3.3

Cancela el factor común.

$x = 2 \cdot 2 \frac{π \cdot 6 + π}{2 \cdot 3}$

Paso 6.2.2.1.2.3.4

Reescribe la expresión.

$x = 2 \frac{π \cdot 6 + π}{3}$

Paso 6.2.2.1.2.4

Combina $2$ y $\frac{π \cdot 6 + π}{3}$ .

$x = \frac{2 (π \cdot 6 + π)}{3}$

Paso 6.2.2.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.2.1.3.1

Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{2 (6 \cdot π + π)}{3}$

Paso 6.2.2.1.3.2

Suma $6 π$ y $π$ .

$x = \frac{2 \cdot 7 π}{3}$

Paso 6.2.2.1.3.3

Multiplica $2$ por $7$ .

$x = \frac{14 π}{3}$

Paso 7

Obtén el período de $\tan (\frac{x}{4})$ .

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Paso 7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 7.2

Reemplaza $b$ con $\frac{1}{4}$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| \frac{1}{4} |}$

Paso 7.3

$\frac{1}{4}$ es aproximadamente $0.25$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{π}{\frac{1}{4}}$

Paso 7.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$π \cdot 4$

Paso 7.5

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$4 π$

Paso 8

El período de la función $\tan (\frac{x}{4})$ es $4 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $4 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{2 π}{3} + 4 π n, \frac{14 π}{3} + 4 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9

Consolida las respuestas.

$x = \frac{2 π}{3} + 4 π n$ , para cualquier número entero $n$