Precálculo Ejemplos

$25^{x} - 12 \cdot 5^{x} + 11 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reescribe $25^{x}$ como ${(5^{2})}^{x}$ .

${(5^{2})}^{x} - 12 \cdot 5^{x} + 11 = 0$

Paso 1.2

Reescribe ${(5^{2})}^{x}$ como ${(5^{x})}^{2}$ .

${(5^{x})}^{2} - 12 \cdot 5^{x} + 11 = 0$

Paso 1.3

Sea $u = 5^{x}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $5^{x}$ .

$u^{2} - 12 u + 11 = 0$

Paso 1.4

Factoriza $u^{2} - 12 u + 11$ con el método AC.

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Paso 1.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $11$ y cuya suma es $- 12$ .

$- 11, - 1$

Paso 1.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 11) (u - 1) = 0$

Paso 1.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5^{x}$ .

$(5^{x} - 11) (5^{x} - 1) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$5^{x} - 11 = 0$

$5^{x} - 1 = 0$

Paso 3

Establece $5^{x} - 11$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $5^{x} - 11$ igual a $0$ .

$5^{x} - 11 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $5^{x} - 11 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Suma $11$ a ambos lados de la ecuación.

$5^{x} = 11$

Paso 3.2.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (5^{x}) = \ln (11)$

Paso 3.2.3

Expande $\ln (5^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (5) = \ln (11)$

Paso 3.2.4

Divide cada término en $x \ln (5) = \ln (11)$ por $\ln (5)$ y simplifica.

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Paso 3.2.4.1

Divide cada término en $x \ln (5) = \ln (11)$ por $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (11)}{\ln (5)}$

Paso 3.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.4.2.1

Cancela el factor común de $\ln (5)$ .

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Paso 3.2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (11)}{\ln (5)}$

Paso 3.2.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (11)}{\ln (5)}$

Paso 4

Establece $5^{x} - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $5^{x} - 1$ igual a $0$ .

$5^{x} - 1 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $5^{x} - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$5^{x} = 1$

Paso 4.2.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (5^{x}) = \ln (1)$

Paso 4.2.3

Expande $\ln (5^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (5) = \ln (1)$

Paso 4.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.4.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$x \ln (5) = 0$

Paso 4.2.5

Divide cada término en $x \ln (5) = 0$ por $\ln (5)$ y simplifica.

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Paso 4.2.5.1

Divide cada término en $x \ln (5) = 0$ por $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{0}{\ln (5)}$

Paso 4.2.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.5.2.1

Cancela el factor común de $\ln (5)$ .

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Paso 4.2.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{0}{\ln (5)}$

Paso 4.2.5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{\ln (5)}$

Paso 4.2.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.5.3.1

Divide $0$ por $\ln (5)$ .

$x = 0$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(5^{x} - 11) (5^{x} - 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{\ln (11)}{\ln (5)}, 0$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{\ln (11)}{\ln (5)}, 0$

Forma decimal:

$x = 1.48989610 \dots, 0$