Precálculo Ejemplos

$3 (2^{2 x}) - 11 \cdot 2^{x} - 4 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reescribe $2^{2 x}$ como ${(2^{x})}^{2}$ .

$3 \cdot {(2^{x})}^{2} - 11 \cdot 2^{x} - 4 = 0$

Paso 1.2

Sea $u = 2^{x}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $2^{x}$ .

$3 u^{2} - 11 u - 4 = 0$

Paso 1.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ y cuya suma es $b = - 11$ .

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Paso 1.3.1.1

Factoriza $- 11$ de $- 11 u$ .

$3 u^{2} - 11 u - 4 = 0$

Paso 1.3.1.2

Reescribe $- 11$ como $1$ más $- 12$

$3 u^{2} + (1 - 12) u - 4 = 0$

Paso 1.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 u^{2} + 1 u - 12 u - 4 = 0$

Paso 1.3.1.4

Multiplica $u$ por $1$ .

$3 u^{2} + u - 12 u - 4 = 0$

Paso 1.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(3 u^{2} + u) - 12 u - 4 = 0$

Paso 1.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (3 u + 1) - 4 (3 u + 1) = 0$

Paso 1.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 u + 1$ .

$(3 u + 1) (u - 4) = 0$

Paso 1.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2^{x}$ .

$(3 \cdot 2^{x} + 1) (2^{x} - 4) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 \cdot 2^{x} + 1 = 0$

$2^{x} - 4 = 0$

Paso 3

Establece $3 \cdot 2^{x} + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $3 \cdot 2^{x} + 1$ igual a $0$ .

$3 \cdot 2^{x} + 1 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $3 \cdot 2^{x} + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$3 \cdot 2^{x} = - 1$

Paso 3.2.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (3 \cdot 2^{x}) = \ln (- 1)$

Paso 3.2.3

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (- 1)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 3.2.4

No hay soluciones para $3 \cdot 2^{x} = - 1$

No hay solución

Paso 4

Establece $2^{x} - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $2^{x} - 4$ igual a $0$ .

$2^{x} - 4 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $2^{x} - 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$2^{x} = 4$

Paso 4.2.2

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$2^{x} = 2^{2}$

Paso 4.2.3

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$x = 2$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 \cdot 2^{x} + 1) (2^{x} - 4) = 0$ verdadera.

$x = 2$