Precálculo Ejemplos

$240 = x (x + 7) (18 - 2 x)$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $x (x + 7) (18 - 2 x) = 240$ .

$x (x + 7) (18 - 2 x) = 240$

Paso 2

Simplifica $x (x + 7) (18 - 2 x)$ .

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Paso 2.1

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(x \cdot x + x \cdot 7) (18 - 2 x) = 240$

Paso 2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$(x^{2} + x \cdot 7) (18 - 2 x) = 240$

Paso 2.1.2.2

Mueve $7$ a la izquierda de $x$ .

$(x^{2} + 7 \cdot x) (18 - 2 x) = 240$

Paso 2.2

Expande $(x^{2} + 7 x) (18 - 2 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} (18 - 2 x) + 7 x (18 - 2 x) = 240$

Paso 2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} \cdot 18 + x^{2} (- 2 x) + 7 x (18 - 2 x) = 240$

Paso 2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} \cdot 18 + x^{2} (- 2 x) + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Paso 2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Mueve $18$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$18 \cdot x^{2} + x^{2} (- 2 x) + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Paso 2.3.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$18 x^{2} - 2 x^{2} x + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Paso 2.3.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.1.3.1

Mueve $x$ .

$18 x^{2} - 2 (x \cdot x^{2}) + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Paso 2.3.1.3.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.3.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$18 x^{2} - 2 (x^{1} x^{2}) + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Paso 2.3.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$18 x^{2} - 2 x^{1 + 2} + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Paso 2.3.1.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $18$ por $7$ .

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x + 7 x (- 2 x) = 240$

Paso 2.3.1.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x + 7 \cdot - 2 x \cdot x = 240$

Paso 2.3.1.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.1.6.1

Mueve $x$ .

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x + 7 \cdot - 2 (x \cdot x) = 240$

Paso 2.3.1.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x + 7 \cdot - 2 x^{2} = 240$

Paso 2.3.1.7

Multiplica $7$ por $- 2$ .

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x - 14 x^{2} = 240$

Paso 2.3.2

Resta $14 x^{2}$ de $18 x^{2}$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x = 240$

Paso 3

Resta $240$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x - 240 = 0$

Paso 4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1

Factoriza $2$ de $4 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x - 240$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $2$ de $4 x^{2}$ .

$2 (2 x^{2}) - 2 x^{3} + 126 x - 240 = 0$

Paso 4.1.2

Factoriza $2$ de $- 2 x^{3}$ .

$2 (2 x^{2}) + 2 (- x^{3}) + 126 x - 240 = 0$

Paso 4.1.3

Factoriza $2$ de $126 x$ .

$2 (2 x^{2}) + 2 (- x^{3}) + 2 (63 x) - 240 = 0$

Paso 4.1.4

Factoriza $2$ de $- 240$ .

$2 (2 x^{2}) + 2 (- x^{3}) + 2 (63 x) + 2 (- 120) = 0$

Paso 4.1.5

Factoriza $2$ de $2 (2 x^{2}) + 2 (- x^{3})$ .

$2 (2 x^{2} - x^{3}) + 2 (63 x) + 2 (- 120) = 0$

Paso 4.1.6

Factoriza $2$ de $2 (2 x^{2} - x^{3}) + 2 (63 x)$ .

$2 (2 x^{2} - x^{3} + 63 x) + 2 (- 120) = 0$

Paso 4.1.7

Factoriza $2$ de $2 (2 x^{2} - x^{3} + 63 x) + 2 (- 120)$ .

$2 (2 x^{2} - x^{3} + 63 x - 120) = 0$

Paso 4.2

Reordena los términos.

$2 (- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120) = 0$

Paso 4.3

Factoriza.

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Paso 4.3.1

Factoriza $- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 4.3.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 120, \pm 2, \pm 60, \pm 3, \pm 40, \pm 4, \pm 30, \pm 5, \pm 24, \pm 6, \pm 20, \pm 8, \pm 15, \pm 10, \pm 12$

$q = \pm 1$

Paso 4.3.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 120, \pm 2, \pm 60, \pm 3, \pm 40, \pm 4, \pm 30, \pm 5, \pm 24, \pm 6, \pm 20, \pm 8, \pm 15, \pm 10, \pm 12$

Paso 4.3.1.3

Sustituye $8$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $8$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.3.1.3.1

Sustituye $8$ en el polinomio.

$- 8^{3} + 2 \cdot 8^{2} + 63 \cdot 8 - 120$

Paso 4.3.1.3.2

Eleva $8$ a la potencia de $3$ .

$- 1 \cdot 512 + 2 \cdot 8^{2} + 63 \cdot 8 - 120$

Paso 4.3.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $512$ .

$- 512 + 2 \cdot 8^{2} + 63 \cdot 8 - 120$

Paso 4.3.1.3.4

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$- 512 + 2 \cdot 64 + 63 \cdot 8 - 120$

Paso 4.3.1.3.5

Multiplica $2$ por $64$ .

$- 512 + 128 + 63 \cdot 8 - 120$

Paso 4.3.1.3.6

Suma $- 512$ y $128$ .

$- 384 + 63 \cdot 8 - 120$

Paso 4.3.1.3.7

Multiplica $63$ por $8$ .

$- 384 + 504 - 120$

Paso 4.3.1.3.8

Suma $- 384$ y $504$ .

$120 - 120$

Paso 4.3.1.3.9

Resta $120$ de $120$ .

$0$

Paso 4.3.1.4

Como $8$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 8$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120}{x - 8}$

Paso 4.3.1.5

Divide $- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120$ por $x - 8$ .

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Paso 4.3.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$8$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$63 x$

$120$

Paso 4.3.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$

Paso 4.3.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$

Paso 4.3.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x^{3} + 8 x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$

Paso 4.3.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Paso 4.3.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$

Paso 4.3.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 6 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$

Paso 4.3.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$48 x$

Paso 4.3.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 6 x^{2} + 48 x$ .

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$

Paso 4.3.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$

Paso 4.3.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$

Paso 4.3.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $15 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$6 x$	+	$15$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$

Paso 4.3.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$	+	$15$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$
							+	$15 x$	-	$120$

Paso 4.3.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $15 x - 120$ .

			-	$x^{2}$	-	$6 x$	+	$15$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$
							-	$15 x$	+	$120$

Paso 4.3.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$	+	$15$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$
							-	$15 x$	+	$120$
										$0$

Paso 4.3.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$- x^{2} - 6 x + 15$

Paso 4.3.1.6

Escribe $- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120$ como un conjunto de factores.

$2 ((x - 8) (- x^{2} - 6 x + 15)) = 0$

Paso 4.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (x - 8) (- x^{2} - 6 x + 15) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

$- x^{2} - 6 x + 15 = 0$

Paso 6

Establece $x - 8$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x - 8$ igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

Paso 6.2

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 8$

Paso 7

Establece $- x^{2} - 6 x + 15$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $- x^{2} - 6 x + 15$ igual a $0$ .

$- x^{2} - 6 x + 15 = 0$

Paso 7.2

Resuelve $- x^{2} - 6 x + 15 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 7.2.2

Sustituye los valores $a = - 1$ , $b = - 6$ y $c = 15$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 15)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 7.2.3

Simplifica.

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Paso 7.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 1 \cdot 15}}{2 \cdot - 1}$

Paso 7.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot 15$ .

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Paso 7.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4 \cdot 15}}{2 \cdot - 1}$

Paso 7.2.3.1.2.2

Multiplica $4$ por $15$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 60}}{2 \cdot - 1}$

Paso 7.2.3.1.3

Suma $36$ y $60$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{96}}{2 \cdot - 1}$

Paso 7.2.3.1.4

Reescribe $96$ como $4^{2} \cdot 6$ .

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Paso 7.2.3.1.4.1

Factoriza $16$ de $96$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{16 (6)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 7.2.3.1.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 1}$

Paso 7.2.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{2 \cdot - 1}$

Paso 7.2.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{- 2}$

Paso 7.2.3.3

Simplifica $\frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{- 2}$ .

$x = \frac{3 \pm 2 \sqrt{6}}{- 1}$

Paso 7.2.3.4

Mueve el negativo del denominador de $\frac{3 \pm 2 \sqrt{6}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (3 \pm 2 \sqrt{6})$

Paso 7.2.3.5

Reescribe $- 1 \cdot (3 \pm 2 \sqrt{6})$ como $- (3 \pm 2 \sqrt{6})$ .

$x = - (3 \pm 2 \sqrt{6})$

Paso 7.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 3 - 2 \sqrt{6}, - 3 + 2 \sqrt{6}$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (x - 8) (- x^{2} - 6 x + 15) = 0$ verdadera.

$x = 8, - 3 - 2 \sqrt{6}, - 3 + 2 \sqrt{6}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = 8, - 3 - 2 \sqrt{6}, - 3 + 2 \sqrt{6}$

Forma decimal:

$x = 8, - 7.89897948 \dots, 1.89897948 \dots$