Precálculo Ejemplos

$\cos (2 y) = \frac{1 - \tan^{2} (y)}{1 + \tan^{2} (y)}$

Paso 1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1

Simplifica $\frac{1 - \tan^{2} (y)}{1 + \tan^{2} (y)}$ .

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Paso 1.1.1

Reorganiza los términos.

$\cos (2 y) = \frac{1 - \tan^{2} (y)}{\tan^{2} (y) + 1}$

Paso 1.1.2

Aplica la identidad pitagórica.

$\cos (2 y) = \frac{1 - \tan^{2} (y)}{\sec^{2} (y)}$

Paso 1.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\cos (2 y) = \frac{1^{2} - \tan^{2} (y)}{\sec^{2} (y)}$

Paso 1.1.3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \tan (y)$ .

$\cos (2 y) = \frac{(1 + \tan (y)) (1 - \tan (y))}{\sec^{2} (y)}$

Paso 2

Como $y$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$\frac{(1 + \tan (y)) (1 - \tan (y))}{\sec^{2} (y)} = \cos (2 y)$

Paso 3

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Resta $\cos (2 y)$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{(1 + \tan (y)) (1 - \tan (y))}{\sec^{2} (y)} - \cos (2 y) = 0$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.1.1

Reescribe $\tan (y)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{(1 + \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) (1 - \tan (y))}{\sec^{2} (y)} - \cos (2 y) = 0$

Paso 3.2.1.2

Reescribe $\tan (y)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{(1 + \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) (1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}{\sec^{2} (y)} - \cos (2 y) = 0$

Paso 3.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.2.2.1

Reescribe $\sec (y)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{(1 + \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) (1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}{{(\frac{1}{\cos (y)})}^{2}} - \cos (2 y) = 0$

Paso 3.2.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$\frac{(1 + \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) (1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)}} - \cos (2 y) = 0$

Paso 3.2.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{(1 + \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) (1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}{\frac{1}{\cos^{2} (y)}} - \cos (2 y) = 0$

Paso 3.2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$(1 + \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) (1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Paso 3.2.4

Expande $(1 + \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) (1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(1 (1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} (1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)})) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Paso 3.2.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(1 \cdot 1 + 1 (- \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} (1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)})) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Paso 3.2.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(1 \cdot 1 + 1 (- \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot 1 + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} (- \frac{\sin (y)}{\cos (y)})) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Paso 3.2.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.5.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$(1 + 1 (- \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot 1 + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} (- \frac{\sin (y)}{\cos (y)})) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Paso 3.2.5.1.2

Multiplica $- \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ por $1$ .

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot 1 + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} (- \frac{\sin (y)}{\cos (y)})) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Paso 3.2.5.1.3

Multiplica $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ por $1$ .

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} (- \frac{\sin (y)}{\cos (y)})) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Paso 3.2.5.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Paso 3.2.5.1.5

Multiplica $- \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ .

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Paso 3.2.5.1.5.1

Multiplica $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ por $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ .

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} - \frac{\sin (y) \sin (y)}{\cos (y) \cos (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Paso 3.2.5.1.5.2

Eleva $\sin (y)$ a la potencia de $1$ .

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} - \frac{\sin^{1} (y) \sin (y)}{\cos (y) \cos (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Paso 3.2.5.1.5.3

Eleva $\sin (y)$ a la potencia de $1$ .

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} - \frac{\sin^{1} (y) \sin^{1} (y)}{\cos (y) \cos (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Paso 3.2.5.1.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} - \frac{{\sin (y)}^{1 + 1}}{\cos (y) \cos (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Paso 3.2.5.1.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} - \frac{\sin^{2} (y)}{\cos (y) \cos (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Paso 3.2.5.1.5.6

Eleva $\cos (y)$ a la potencia de $1$ .

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} - \frac{\sin^{2} (y)}{\cos^{1} (y) \cos (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Paso 3.2.5.1.5.7

Eleva $\cos (y)$ a la potencia de $1$ .

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} - \frac{\sin^{2} (y)}{\cos^{1} (y) \cos^{1} (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Paso 3.2.5.1.5.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} - \frac{\sin^{2} (y)}{{\cos (y)}^{1 + 1}}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Paso 3.2.5.1.5.9

Suma $1$ y $1$ .

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} - \frac{\sin^{2} (y)}{\cos^{2} (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Paso 3.2.5.2

Suma $- \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ y $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ .

$(1 + 0 - \frac{\sin^{2} (y)}{\cos^{2} (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Paso 3.2.5.3

Suma $1$ y $0$ .

$(1 - \frac{\sin^{2} (y)}{\cos^{2} (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Paso 3.2.6

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \cos^{2} (y) - \frac{\sin^{2} (y)}{\cos^{2} (y)} \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Paso 3.2.7

Multiplica $\cos^{2} (y)$ por $1$ .

$\cos^{2} (y) - \frac{\sin^{2} (y)}{\cos^{2} (y)} \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Paso 3.2.8

Cancela el factor común de $\cos^{2} (y)$ .

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Paso 3.2.8.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sin^{2} (y)}{\cos^{2} (y)}$ al numerador.

$\cos^{2} (y) + \frac{- \sin^{2} (y)}{\cos^{2} (y)} \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Paso 3.2.8.2

Cancela el factor común.

$\cos^{2} (y) + \frac{- \sin^{2} (y)}{\cos^{2} (y)} \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Paso 3.2.8.3

Reescribe la expresión.

$\cos^{2} (y) - \sin^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Paso 3.2.9

Aplica la razón del ángulo doble del coseno.

$\cos (2 y) - \cos (2 y) = 0$

Paso 3.3

Resta $\cos (2 y)$ de $\cos (2 y)$ .

$0 = 0$

Paso 4

Como $0 = 0$ , la ecuación siempre será verdadera para cualquier valor de $y$ .

Todos los números reales

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Todos los números reales

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$