Precálculo Ejemplos

$x = \frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} = x$ .

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} = x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $1 + 2 e^{y}$ .

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} (1 + 2 e^{y}) = x (1 + 2 e^{y})$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común de $1 + 2 e^{y}$ .

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Paso 3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} (1 + 2 e^{y}) = x (1 + 2 e^{y})$

Paso 3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$e^{y} = x (1 + 2 e^{y})$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Simplifica $x (1 + 2 e^{y})$ .

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Paso 3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{y} = x \cdot 1 + x (2 e^{y})$

Paso 3.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.1.2.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$e^{y} = x + x (2 e^{y})$

Paso 3.2.1.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{y} = x + 2 x e^{y}$

Paso 4

Resuelve $y$

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Paso 4.1

Resta $2 x e^{y}$ de ambos lados de la ecuación.

$e^{y} - 2 x e^{y} = x$

Paso 4.2

Factoriza $e^{y}$ de $e^{y} - 2 x e^{y}$ .

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Paso 4.2.1

Multiplica por $1$ .

$e^{y} \cdot 1 - 2 x e^{y} = x$

Paso 4.2.2

Factoriza $e^{y}$ de $- 2 x e^{y}$ .

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- 2 x) = x$

Paso 4.2.3

Factoriza $e^{y}$ de $e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- 2 x)$ .

$e^{y} (1 - 2 x) = x$

Paso 4.3

Divide cada término en $e^{y} (1 - 2 x) = x$ por $1 - 2 x$ y simplifica.

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Paso 4.3.1

Divide cada término en $e^{y} (1 - 2 x) = x$ por $1 - 2 x$ .

$\frac{e^{y} (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Paso 4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.1

Cancela el factor común de $1 - 2 x$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{y} (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Paso 4.3.2.1.2

Divide $e^{y}$ por $1$ .

$e^{y} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Paso 4.4

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Paso 4.5

Expande el lado izquierdo.

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Paso 4.5.1

Expande $\ln (e^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Paso 4.5.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Paso 4.5.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$y = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$