Precálculo Ejemplos

$6 w^{4} - 17 w^{2} + 12 = 0$

Paso 1

Sustituye $u = w^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$6 u^{2} - 17 u + 12 = 0$

$u = w^{2}$

Paso 2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 6 \cdot 12 = 72$ y cuya suma es $b = - 17$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $- 17$ de $- 17 u$ .

$6 u^{2} - 17 u + 12 = 0$

Paso 2.1.2

Reescribe $- 17$ como $- 8$ más $- 9$

$6 u^{2} + (- 8 - 9) u + 12 = 0$

Paso 2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$6 u^{2} - 8 u - 9 u + 12 = 0$

Paso 2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(6 u^{2} - 8 u) - 9 u + 12 = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 u (3 u - 4) - 3 (3 u - 4) = 0$

Paso 2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 u - 4$ .

$(3 u - 4) (2 u - 3) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 u - 4 = 0$

$2 u - 3 = 0$

Paso 4

Establece $3 u - 4$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 4.1

Establece $3 u - 4$ igual a $0$ .

$3 u - 4 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $3 u - 4 = 0$ en $u$ .

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Paso 4.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$3 u = 4$

Paso 4.2.2

Divide cada término en $3 u = 4$ por $3$ y simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Divide cada término en $3 u = 4$ por $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 u}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 4.2.2.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{4}{3}$

Paso 5

Establece $2 u - 3$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 5.1

Establece $2 u - 3$ igual a $0$ .

$2 u - 3 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $2 u - 3 = 0$ en $u$ .

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Paso 5.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$2 u = 3$

Paso 5.2.2

Divide cada término en $2 u = 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Divide cada término en $2 u = 3$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 5.2.2.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{3}{2}$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 u - 4) (2 u - 3) = 0$ verdadera.

$u = \frac{4}{3}, \frac{3}{2}$

Paso 7

Sustituye el valor real de $u = w^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$w^{2} = \frac{4}{3}$

${(w^{2})}^{1} = \frac{3}{2}$

Paso 8

Resuelve la primera ecuación para $w$ .

$w^{2} = \frac{4}{3}$

Paso 9

Resuelve la ecuación en $w$ .

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Paso 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$w = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Paso 9.2

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

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Paso 9.2.1

Reescribe $\sqrt{\frac{4}{3}}$ como $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Paso 9.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Paso 9.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$w = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Paso 9.2.3

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$w = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 9.2.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 9.2.4.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$w = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 9.2.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$w = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 9.2.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$w = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 9.2.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$w = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 9.2.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$w = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 9.2.4.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 9.2.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$w = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.2.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$w = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 9.2.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$w = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.2.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$w = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.2.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$w = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 9.2.4.6.5

Evalúa el exponente.

$w = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 9.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 9.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$w = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 9.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$w = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 9.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$w = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 10

Resuelve la segunda ecuación para $w$ .

${(w^{2})}^{1} = \frac{3}{2}$

Paso 11

Resuelve la ecuación en $w$ .

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Paso 11.1

Elimina los paréntesis.

$w^{2} = \frac{3}{2}$

Paso 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$w = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$

Paso 11.3

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 11.3.1

Reescribe $\sqrt{\frac{3}{2}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Paso 11.3.2

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 11.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 11.3.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 11.3.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 11.3.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 11.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$w = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 11.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 11.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 11.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 11.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 11.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 11.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$w = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 11.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$w = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 11.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$w = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Paso 11.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 11.3.4.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$w = \pm \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}$

Paso 11.3.4.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

Paso 11.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 11.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$w = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Paso 11.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$w = - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Paso 11.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$w = \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Paso 12

La solución a $6 w^{4} - 17 w^{2} + 12 = 0$ es $w = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$w = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$w = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Forma decimal:

$w = 1.15470053 \dots, - 1.15470053 \dots, 1.22474487 \dots, - 1.22474487 \dots$