Precálculo Ejemplos

$\frac{10}{r - 5} + \frac{10}{r + 5} = 3$

Paso 1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$r - 5, r + 5, 1$

Paso 1.2

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 1.3

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 1.4

El MCM de $1, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

Paso 1.5

El factor para $r - 5$ es $r - 5$ en sí mismo.

$(r - 5) = r - 5$

$(r - 5)$ ocurre $1$ vez.

Paso 1.6

El factor para $r + 5$ es $r + 5$ en sí mismo.

$(r + 5) = r + 5$

$(r + 5)$ ocurre $1$ vez.

Paso 1.7

El MCM de $r - 5, r + 5$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$(r - 5) (r + 5)$

Paso 2

Multiplica cada término en $\frac{10}{r - 5} + \frac{10}{r + 5} = 3$ por $(r - 5) (r + 5)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica cada término en $\frac{10}{r - 5} + \frac{10}{r + 5} = 3$ por $(r - 5) (r + 5)$ .

$\frac{10}{r - 5} ((r - 5) (r + 5)) + \frac{10}{r + 5} ((r - 5) (r + 5)) = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común de $r - 5$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{10}{r - 5} ((r - 5) (r + 5)) + \frac{10}{r + 5} ((r - 5) (r + 5)) = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Paso 2.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$10 (r + 5) + \frac{10}{r + 5} ((r - 5) (r + 5)) = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Paso 2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$10 r + 10 \cdot 5 + \frac{10}{r + 5} ((r - 5) (r + 5)) = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $10$ por $5$ .

$10 r + 50 + \frac{10}{r + 5} ((r - 5) (r + 5)) = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Paso 2.2.1.4

Cancela el factor común de $r + 5$ .

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Paso 2.2.1.4.1

Factoriza $r + 5$ de $(r - 5) (r + 5)$ .

$10 r + 50 + \frac{10}{r + 5} ((r + 5) (r - 5)) = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Paso 2.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$10 r + 50 + \frac{10}{r + 5} ((r + 5) (r - 5)) = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Paso 2.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$10 r + 50 + 10 (r - 5) = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Paso 2.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$10 r + 50 + 10 r + 10 \cdot - 5 = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Paso 2.2.1.6

Multiplica $10$ por $- 5$ .

$10 r + 50 + 10 r - 50 = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Paso 2.2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.2.1

Combina los términos opuestos en $10 r + 50 + 10 r - 50$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Resta $50$ de $50$ .

$10 r + 10 r + 0 = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Paso 2.2.2.1.2

Suma $10 r + 10 r$ y $0$ .

$10 r + 10 r = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Paso 2.2.2.2

Suma $10 r$ y $10 r$ .

$20 r = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Expande $(r - 5) (r + 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$20 r = 3 (r (r + 5) - 5 (r + 5))$

Paso 2.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$20 r = 3 (r \cdot r + r \cdot 5 - 5 (r + 5))$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$20 r = 3 (r \cdot r + r \cdot 5 - 5 r - 5 \cdot 5)$

Paso 2.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.3.2.1

Combina los términos opuestos en $r \cdot r + r \cdot 5 - 5 r - 5 \cdot 5$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Reordena los factores en los términos $r \cdot 5$ y $- 5 r$ .

$20 r = 3 (r \cdot r + 5 r - 5 r - 5 \cdot 5)$

Paso 2.3.2.1.2

Resta $5 r$ de $5 r$ .

$20 r = 3 (r \cdot r + 0 - 5 \cdot 5)$

Paso 2.3.2.1.3

Suma $r \cdot r$ y $0$ .

$20 r = 3 (r \cdot r - 5 \cdot 5)$

Paso 2.3.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.2.1

Multiplica $r$ por $r$ .

$20 r = 3 (r^{2} - 5 \cdot 5)$

Paso 2.3.2.2.2

Multiplica $- 5$ por $5$ .

$20 r = 3 (r^{2} - 25)$

Paso 2.3.2.3

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 2.3.2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$20 r = 3 r^{2} + 3 \cdot - 25$

Paso 2.3.2.3.2

Multiplica $3$ por $- 25$ .

$20 r = 3 r^{2} - 75$

Paso 3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.1

Resta $3 r^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$20 r - 3 r^{2} = - 75$

Paso 3.2

Suma $75$ a ambos lados de la ecuación.

$20 r - 3 r^{2} + 75 = 0$

Paso 3.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.4

Sustituye los valores $a = - 3$ , $b = 20$ y $c = 75$ en la fórmula cuadrática y resuelve $r$ .

$\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot 75)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1.1

Eleva $20$ a la potencia de $2$ .

$r = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot - 3 \cdot 75}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 3 \cdot 75$ .

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Paso 3.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 3$ .

$r = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 + 12 \cdot 75}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.5.1.2.2

Multiplica $12$ por $75$ .

$r = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 + 900}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.5.1.3

Suma $400$ y $900$ .

$r = \frac{- 20 \pm \sqrt{1300}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.5.1.4

Reescribe $1300$ como $10^{2} \cdot 13$ .

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Paso 3.5.1.4.1

Factoriza $100$ de $1300$ .

$r = \frac{- 20 \pm \sqrt{100 (13)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.5.1.4.2

Reescribe $100$ como $10^{2}$ .

$r = \frac{- 20 \pm \sqrt{10^{2} \cdot 13}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$r = \frac{- 20 \pm 10 \sqrt{13}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.5.2

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$r = \frac{- 20 \pm 10 \sqrt{13}}{- 6}$

Paso 3.5.3

Simplifica $\frac{- 20 \pm 10 \sqrt{13}}{- 6}$ .

$r = \frac{10 \pm 5 \sqrt{13}}{3}$

Paso 3.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$r = \frac{10 + 5 \sqrt{13}}{3}, \frac{10 - 5 \sqrt{13}}{3}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$r = \frac{10 + 5 \sqrt{13}}{3}, \frac{10 - 5 \sqrt{13}}{3}$

Forma decimal:

$r = 9.34258545 \dots, - 2.67591879 \dots$