Precálculo Ejemplos

$\frac{3 \sqrt{7} + 5}{\sqrt{7} - 2}$

Paso 1

Multiplica $\frac{3 \sqrt{7} + 5}{\sqrt{7} - 2}$ por $\frac{\sqrt{7} + 2}{\sqrt{7} + 2}$ .

$\frac{3 \sqrt{7} + 5}{\sqrt{7} - 2} \cdot \frac{\sqrt{7} + 2}{\sqrt{7} + 2}$

Paso 2

Combina fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{3 \sqrt{7} + 5}{\sqrt{7} - 2}$ por $\frac{\sqrt{7} + 2}{\sqrt{7} + 2}$ .

$\frac{(3 \sqrt{7} + 5) (\sqrt{7} + 2)}{(\sqrt{7} - 2) (\sqrt{7} + 2)}$

Paso 2.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(3 \sqrt{7} + 5) (\sqrt{7} + 2)}{{\sqrt{7}}^{2} + \sqrt{7} \cdot 2 - 2 \sqrt{7} - 4}$

Paso 2.3

Simplifica.

$\frac{(3 \sqrt{7} + 5) (\sqrt{7} + 2)}{3}$

Paso 3

Expande $(3 \sqrt{7} + 5) (\sqrt{7} + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 \sqrt{7} (\sqrt{7} + 2) + 5 (\sqrt{7} + 2)}{3}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 \sqrt{7} \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} \cdot 2 + 5 (\sqrt{7} + 2)}{3}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 \sqrt{7} \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} \cdot 2 + 5 \sqrt{7} + 5 \cdot 2}{3}$

Paso 4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $3 \sqrt{7} \sqrt{7}$ .

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Paso 4.1.1.1

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}) + 3 \sqrt{7} \cdot 2 + 5 \sqrt{7} + 5 \cdot 2}{3}$

Paso 4.1.1.2

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}) + 3 \sqrt{7} \cdot 2 + 5 \sqrt{7} + 5 \cdot 2}{3}$

Paso 4.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 {\sqrt{7}}^{1 + 1} + 3 \sqrt{7} \cdot 2 + 5 \sqrt{7} + 5 \cdot 2}{3}$

Paso 4.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 {\sqrt{7}}^{2} + 3 \sqrt{7} \cdot 2 + 5 \sqrt{7} + 5 \cdot 2}{3}$

Paso 4.1.2

Reescribe ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Paso 4.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 \sqrt{7} \cdot 2 + 5 \sqrt{7} + 5 \cdot 2}{3}$

Paso 4.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 \sqrt{7} \cdot 2 + 5 \sqrt{7} + 5 \cdot 2}{3}$

Paso 4.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{3 \cdot 7^{\frac{2}{2}} + 3 \sqrt{7} \cdot 2 + 5 \sqrt{7} + 5 \cdot 2}{3}$

Paso 4.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 7^{\frac{2}{2}} + 3 \sqrt{7} \cdot 2 + 5 \sqrt{7} + 5 \cdot 2}{3}$

Paso 4.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \cdot 7^{1} + 3 \sqrt{7} \cdot 2 + 5 \sqrt{7} + 5 \cdot 2}{3}$

Paso 4.1.2.5

Evalúa el exponente.

$\frac{3 \cdot 7 + 3 \sqrt{7} \cdot 2 + 5 \sqrt{7} + 5 \cdot 2}{3}$

Paso 4.1.3

Multiplica $3$ por $7$ .

$\frac{21 + 3 \sqrt{7} \cdot 2 + 5 \sqrt{7} + 5 \cdot 2}{3}$

Paso 4.1.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{21 + 6 \sqrt{7} + 5 \sqrt{7} + 5 \cdot 2}{3}$

Paso 4.1.5

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{21 + 6 \sqrt{7} + 5 \sqrt{7} + 10}{3}$

Paso 4.2

Suma $21$ y $10$ .

$\frac{31 + 6 \sqrt{7} + 5 \sqrt{7}}{3}$

Paso 4.3

Suma $6 \sqrt{7}$ y $5 \sqrt{7}$ .

$\frac{31 + 11 \sqrt{7}}{3}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{31 + 11 \sqrt{7}}{3}$

Forma decimal:

$20.03442147 \dots$