Precálculo Ejemplos

$2^{2 x + 10} = 3^{x - 40}$

Paso 1

Resta el logaritmo de ambos lados de la ecuación.

$\ln (2^{2 x + 10}) = \ln (3^{x - 40})$

Paso 2

Expande $\ln (2^{2 x + 10})$ ; para ello, mueve $2 x + 10$ fuera del logaritmo.

$(2 x + 10) \ln (2) = \ln (3^{x - 40})$

Paso 3

Expande $\ln (3^{x - 40})$ ; para ello, mueve $x - 40$ fuera del logaritmo.

$(2 x + 10) \ln (2) = (x - 40) \ln (3)$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 4.1

Simplifica $(2 x + 10) \ln (2)$ .

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Paso 4.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + (2 x + 10) \ln (2) = (x - 40) \ln (3)$

Paso 4.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$(2 x + 10) \ln (2) = (x - 40) \ln (3)$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x \ln (2) + 10 \ln (2) = (x - 40) \ln (3)$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x \ln (2) + 10 \ln (2) = x \ln (3) - 40 \ln (3)$

Paso 4.3

Resta $x \ln (3)$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x \ln (2) + 10 \ln (2) - x \ln (3) = - 40 \ln (3)$

Paso 4.4

Resta $10 \ln (2)$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x \ln (2) - x \ln (3) = - 40 \ln (3) - 10 \ln (2)$

Paso 4.5

Factoriza $x$ de $2 x \ln (2) - x \ln (3)$ .

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Paso 4.5.1

Factoriza $x$ de $2 x \ln (2)$ .

$x (2 \ln (2)) - x \ln (3) = - 40 \ln (3) - 10 \ln (2)$

Paso 4.5.2

Factoriza $x$ de $- x \ln (3)$ .

$x (2 \ln (2)) + x (- 1 \ln (3)) = - 40 \ln (3) - 10 \ln (2)$

Paso 4.5.3

Factoriza $x$ de $x (2 \ln (2)) + x (- 1 \ln (3))$ .

$x (2 \ln (2) - 1 \ln (3)) = - 40 \ln (3) - 10 \ln (2)$

Paso 4.6

Reescribe $- 1 \ln (3)$ como $- \ln (3)$ .

$x (2 \ln (2) - \ln (3)) = - 40 \ln (3) - 10 \ln (2)$

Paso 4.7

Divide cada término en $x (2 \ln (2) - \ln (3)) = - 40 \ln (3) - 10 \ln (2)$ por $2 \ln (2) - \ln (3)$ y simplifica.

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Paso 4.7.1

Divide cada término en $x (2 \ln (2) - \ln (3)) = - 40 \ln (3) - 10 \ln (2)$ por $2 \ln (2) - \ln (3)$ .

$\frac{x (2 \ln (2) - \ln (3))}{2 \ln (2) - \ln (3)} = \frac{- 40 \ln (3)}{2 \ln (2) - \ln (3)} + \frac{- 10 \ln (2)}{2 \ln (2) - \ln (3)}$

Paso 4.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.7.2.1

Cancela el factor común de $2 \ln (2) - \ln (3)$ .

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Paso 4.7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (2 \ln (2) - \ln (3))}{2 \ln (2) - \ln (3)} = \frac{- 40 \ln (3)}{2 \ln (2) - \ln (3)} + \frac{- 10 \ln (2)}{2 \ln (2) - \ln (3)}$

Paso 4.7.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 40 \ln (3)}{2 \ln (2) - \ln (3)} + \frac{- 10 \ln (2)}{2 \ln (2) - \ln (3)}$

Paso 4.7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.7.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- 40 \ln (3) - 10 \ln (2)}{2 \ln (2) - \ln (3)}$

Paso 4.7.3.2

Factoriza $10$ de $- 40 \ln (3) - 10 \ln (2)$ .

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Paso 4.7.3.2.1

Factoriza $10$ de $- 40 \ln (3)$ .

$x = \frac{10 (- 4 \ln (3)) - 10 \ln (2)}{2 \ln (2) - \ln (3)}$

Paso 4.7.3.2.2

Factoriza $10$ de $- 10 \ln (2)$ .

$x = \frac{10 (- 4 \ln (3)) + 10 (- \ln (2))}{2 \ln (2) - \ln (3)}$

Paso 4.7.3.2.3

Factoriza $10$ de $10 (- 4 \ln (3)) + 10 (- \ln (2))$ .

$x = \frac{10 (- 4 \ln (3) - \ln (2))}{2 \ln (2) - \ln (3)}$

Paso 4.7.3.3

Factoriza $- 1$ de $- 4 \ln (3)$ .

$x = \frac{10 (- (4 \ln (3)) - \ln (2))}{2 \ln (2) - \ln (3)}$

Paso 4.7.3.4

Factoriza $- 1$ de $- \ln (2)$ .

$x = \frac{10 (- (4 \ln (3)) - \ln (2))}{2 \ln (2) - \ln (3)}$

Paso 4.7.3.5

Factoriza $- 1$ de $- (4 \ln (3)) - \ln (2)$ .

$x = \frac{10 (- (4 \ln (3) + \ln (2)))}{2 \ln (2) - \ln (3)}$

Paso 4.7.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 4.7.3.6.1

Reescribe $- (4 \ln (3) + \ln (2))$ como $- 1 (4 \ln (3) + \ln (2))$ .

$x = \frac{10 (- 1 (4 \ln (3) + \ln (2)))}{2 \ln (2) - \ln (3)}$

Paso 4.7.3.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{10 (4 \ln (3) + \ln (2))}{2 \ln (2) - \ln (3)}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{10 (4 \ln (3) + \ln (2))}{2 \ln (2) - \ln (3)}$

Forma decimal:

$x = - 176.84787556 \dots$