Precálculo Ejemplos

$\frac{5 x^{2} + 3 x - 2}{2 x^{2} + 15 x - 27} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$

Paso 1

Factoriza cada término.

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Paso 1.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 5 \cdot - 2 = - 10$ y cuya suma es $b = 3$ .

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Paso 1.1.1.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{5 x^{2} + 3 (x) - 2}{2 x^{2} + 15 x - 27} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$

Paso 1.1.1.2

Reescribe $3$ como $- 2$ más $5$

$\frac{5 x^{2} + (- 2 + 5) x - 2}{2 x^{2} + 15 x - 27} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$

Paso 1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 x^{2} - 2 x + 5 x - 2}{2 x^{2} + 15 x - 27} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$

Paso 1.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(5 x^{2} - 2 x) + 5 x - 2}{2 x^{2} + 15 x - 27} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$

Paso 1.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (5 x - 2) + 1 (5 x - 2)}{2 x^{2} + 15 x - 27} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$

Paso 1.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $5 x - 2$ .

$\frac{(5 x - 2) (x + 1)}{2 x^{2} + 15 x - 27} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$

Paso 1.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 27 = - 54$ y cuya suma es $b = 15$ .

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Paso 1.2.1.1

Factoriza $15$ de $15 x$ .

$\frac{(5 x - 2) (x + 1)}{2 x^{2} + 15 (x) - 27} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$

Paso 1.2.1.2

Reescribe $15$ como $- 3$ más $18$

$\frac{(5 x - 2) (x + 1)}{2 x^{2} + (- 3 + 18) x - 27} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$

Paso 1.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(5 x - 2) (x + 1)}{2 x^{2} - 3 x + 18 x - 27} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$

Paso 1.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(5 x - 2) (x + 1)}{(2 x^{2} - 3 x) + 18 x - 27} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$

Paso 1.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(5 x - 2) (x + 1)}{x (2 x - 3) + 9 (2 x - 3)} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$

Paso 1.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 3$ .

$\frac{(5 x - 2) (x + 1)}{(2 x - 3) (x + 9)} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$(2 x - 3) (x + 9), 2 x - 3, x + 9$

Paso 2.2

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 2.3

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 2.4

El MCM de $1, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

Paso 2.5

El factor para $2 x - 3$ es $2 x - 3$ en sí mismo.

$(2 x - 3) = 2 x - 3$

$(2 x - 3)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.6

El factor para $x + 9$ es $x + 9$ en sí mismo.

$(x + 9) = x + 9$

$(x + 9)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.7

El factor para $2 x - 3$ es $2 x - 3$ en sí mismo.

$(2 x - 3) = 2 x - 3$

$(2 x - 3)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.8

El factor para $x + 9$ es $x + 9$ en sí mismo.

$(x + 9) = x + 9$

$(x + 9)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.9

El MCM de $2 x - 3, x + 9, 2 x - 3, x + 9$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$(2 x - 3) (x + 9)$

Paso 3

Multiplica cada término en $\frac{(5 x - 2) (x + 1)}{(2 x - 3) (x + 9)} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$ por $(2 x - 3) (x + 9)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{(5 x - 2) (x + 1)}{(2 x - 3) (x + 9)} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$ por $(2 x - 3) (x + 9)$ .

$\frac{(5 x - 2) (x + 1)}{(2 x - 3) (x + 9)} ((2 x - 3) (x + 9)) - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} ((2 x - 3) (x + 9)) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común de $(2 x - 3) (x + 9)$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(5 x - 2) (x + 1)}{(2 x - 3) (x + 9)} ((2 x - 3) (x + 9)) - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} ((2 x - 3) (x + 9)) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Paso 3.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$(5 x - 2) (x + 1) - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} ((2 x - 3) (x + 9)) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Paso 3.2.1.2

Expande $(5 x - 2) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x (x + 1) - 2 (x + 1) - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} ((2 x - 3) (x + 9)) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Paso 3.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x \cdot x + 5 x \cdot 1 - 2 (x + 1) - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} ((2 x - 3) (x + 9)) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Paso 3.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x \cdot x + 5 x \cdot 1 - 2 x - 2 \cdot 1 - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} ((2 x - 3) (x + 9)) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Paso 3.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.1.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 1 - 2 x - 2 \cdot 1 - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} ((2 x - 3) (x + 9)) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Paso 3.2.1.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$5 x^{2} + 5 x \cdot 1 - 2 x - 2 \cdot 1 - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} ((2 x - 3) (x + 9)) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Paso 3.2.1.3.1.2

Multiplica $5$ por $1$ .

$5 x^{2} + 5 x - 2 x - 2 \cdot 1 - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} ((2 x - 3) (x + 9)) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Paso 3.2.1.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$5 x^{2} + 5 x - 2 x - 2 - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} ((2 x - 3) (x + 9)) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Paso 3.2.1.3.2

Resta $2 x$ de $5 x$ .

$5 x^{2} + 3 x - 2 - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} ((2 x - 3) (x + 9)) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Paso 3.2.1.4

Cancela el factor común de $2 x - 3$ .

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Paso 3.2.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3 x + 1}{2 x - 3}$ al numerador.

$5 x^{2} + 3 x - 2 + \frac{- (3 x + 1)}{2 x - 3} ((2 x - 3) (x + 9)) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Paso 3.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$5 x^{2} + 3 x - 2 + \frac{- (3 x + 1)}{2 x - 3} ((2 x - 3) (x + 9)) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Paso 3.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$5 x^{2} + 3 x - 2 - (3 x + 1) (x + 9) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Paso 3.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x^{2} + 3 x - 2 + (- (3 x) - 1 \cdot 1) (x + 9) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Paso 3.2.1.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$5 x^{2} + 3 x - 2 + (- 3 x - 1 \cdot 1) (x + 9) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Paso 3.2.1.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$5 x^{2} + 3 x - 2 + (- 3 x - 1) (x + 9) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Paso 3.2.1.8

Expande $(- 3 x - 1) (x + 9)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x^{2} + 3 x - 2 - 3 x (x + 9) - 1 (x + 9) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Paso 3.2.1.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x^{2} + 3 x - 2 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot 9 - 1 (x + 9) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Paso 3.2.1.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x^{2} + 3 x - 2 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot 9 - 1 x - 1 \cdot 9 = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Paso 3.2.1.9

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.1.9.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.9.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.1.9.1.1.1

Mueve $x$ .

$5 x^{2} + 3 x - 2 - 3 (x \cdot x) - 3 x \cdot 9 - 1 x - 1 \cdot 9 = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Paso 3.2.1.9.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$5 x^{2} + 3 x - 2 - 3 x^{2} - 3 x \cdot 9 - 1 x - 1 \cdot 9 = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Paso 3.2.1.9.1.2

Multiplica $9$ por $- 3$ .

$5 x^{2} + 3 x - 2 - 3 x^{2} - 27 x - 1 x - 1 \cdot 9 = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Paso 3.2.1.9.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$5 x^{2} + 3 x - 2 - 3 x^{2} - 27 x - x - 1 \cdot 9 = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Paso 3.2.1.9.1.4

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$5 x^{2} + 3 x - 2 - 3 x^{2} - 27 x - x - 9 = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Paso 3.2.1.9.2

Resta $x$ de $- 27 x$ .

$5 x^{2} + 3 x - 2 - 3 x^{2} - 28 x - 9 = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Paso 3.2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.2.2.1

Resta $3 x^{2}$ de $5 x^{2}$ .

$2 x^{2} + 3 x - 2 - 28 x - 9 = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Paso 3.2.2.2

Resta $28 x$ de $3 x$ .

$2 x^{2} - 25 x - 2 - 9 = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Paso 3.2.2.3

Resta $9$ de $- 2$ .

$2 x^{2} - 25 x - 11 = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $x + 9$ .

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Paso 3.3.1.1

Factoriza $x + 9$ de $(2 x - 3) (x + 9)$ .

$2 x^{2} - 25 x - 11 = \frac{8}{x + 9} ((x + 9) (2 x - 3))$

Paso 3.3.1.2

Cancela el factor común.

$2 x^{2} - 25 x - 11 = \frac{8}{x + 9} ((x + 9) (2 x - 3))$

Paso 3.3.1.3

Reescribe la expresión.

$2 x^{2} - 25 x - 11 = 8 (2 x - 3)$

Paso 3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - 25 x - 11 = 8 (2 x) + 8 \cdot - 3$

Paso 3.3.3

Multiplica.

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Paso 3.3.3.1

Multiplica $2$ por $8$ .

$2 x^{2} - 25 x - 11 = 16 x + 8 \cdot - 3$

Paso 3.3.3.2

Multiplica $8$ por $- 3$ .

$2 x^{2} - 25 x - 11 = 16 x - 24$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1.1

Resta $16 x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} - 25 x - 11 - 16 x = - 24$

Paso 4.1.2

Resta $16 x$ de $- 25 x$ .

$2 x^{2} - 41 x - 11 = - 24$

Paso 4.2

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 4.2.1

Suma $24$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} - 41 x - 11 + 24 = 0$

Paso 4.2.2

Suma $- 11$ y $24$ .

$2 x^{2} - 41 x + 13 = 0$

Paso 4.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.4

Sustituye los valores $a = 2$ , $b = - 41$ y $c = 13$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{41 \pm \sqrt{{(- 41)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 13)}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.5

Simplifica.

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Paso 4.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1.1

Eleva $- 41$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{41 \pm \sqrt{1681 - 4 \cdot 2 \cdot 13}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 13$ .

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Paso 4.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{41 \pm \sqrt{1681 - 8 \cdot 13}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.5.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $13$ .

$x = \frac{41 \pm \sqrt{1681 - 104}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.5.1.3

Resta $104$ de $1681$ .

$x = \frac{41 \pm \sqrt{1577}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.5.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{41 \pm \sqrt{1577}}{4}$

Paso 4.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{41 + \sqrt{1577}}{4}, \frac{41 - \sqrt{1577}}{4}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{41 + \sqrt{1577}}{4}, \frac{41 - \sqrt{1577}}{4}$

Forma decimal:

$x = 20.17786482 \dots, 0.32213517 \dots$