Precálculo Ejemplos

$\log (3 x - 1) + \log (x + 5) = 1$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((3 x - 1) (x + 5)) = 1$

Paso 1.2

Expande $(3 x - 1) (x + 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (3 x (x + 5) - 1 (x + 5)) = 1$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (3 x \cdot x + 3 x \cdot 5 - 1 (x + 5)) = 1$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (3 x \cdot x + 3 x \cdot 5 - 1 x - 1 \cdot 5) = 1$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$\log (3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 5 - 1 x - 1 \cdot 5) = 1$

Paso 1.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log (3 x^{2} + 3 x \cdot 5 - 1 x - 1 \cdot 5) = 1$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$\log (3 x^{2} + 15 x - 1 x - 1 \cdot 5) = 1$

Paso 1.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\log (3 x^{2} + 15 x - x - 1 \cdot 5) = 1$

Paso 1.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\log (3 x^{2} + 15 x - x - 5) = 1$

Paso 1.3.2

Resta $x$ de $15 x$ .

$\log (3 x^{2} + 14 x - 5) = 1$

Paso 2

Reescribe $\log (3 x^{2} + 14 x - 5) = 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 3 x^{2} + 14 x - 5$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $3 x^{2} + 14 x - 5 = 10^{1}$ .

$3 x^{2} + 14 x - 5 = 10$

Paso 3.2

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 3.2.1

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} + 14 x - 5 - 10 = 0$

Paso 3.2.2

Resta $10$ de $- 5$ .

$3 x^{2} + 14 x - 15 = 0$

Paso 3.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.4

Sustituye los valores $a = 3$ , $b = 14$ y $c = - 15$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 15)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1.1

Eleva $14$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 3 \cdot - 15}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot - 15$ .

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Paso 3.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 12 \cdot - 15}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.5.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $- 15$ .

$x = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 + 180}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.5.1.3

Suma $196$ y $180$ .

$x = \frac{- 14 \pm \sqrt{376}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.5.1.4

Reescribe $376$ como $2^{2} \cdot 94$ .

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Paso 3.5.1.4.1

Factoriza $4$ de $376$ .

$x = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (94)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 14 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 94}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{94}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.5.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{94}}{6}$

Paso 3.5.3

Simplifica $\frac{- 14 \pm 2 \sqrt{94}}{6}$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{94}}{3}$

Paso 3.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{7 - \sqrt{94}}{3}, - \frac{7 + \sqrt{94}}{3}$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log (3 x - 1) + \log (x + 5) = 1$ sea verdadera.

$x = - \frac{7 - \sqrt{94}}{3}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{7 - \sqrt{94}}{3}$

Forma decimal:

$x = 0.89845323 \dots$