Precálculo Ejemplos

$\log (x) - \log (x + 8) = - 1$

Paso 1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x}{x + 8}) = - 1$

Paso 2

Reescribe $\log (\frac{x}{x + 8}) = - 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{- 1} = \frac{x}{x + 8}$

Paso 3

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$x = 10^{- 1} (x + 8)$

Paso 4

Simplifica $10^{- 1} (x + 8)$ .

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Paso 4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{10} (x + 8)$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{1}{10} x + \frac{1}{10} \cdot 8$

Paso 4.3

Combina $\frac{1}{10}$ y $x$ .

$x = \frac{x}{10} + \frac{1}{10} \cdot 8$

Paso 4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.4.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$x = \frac{x}{10} + \frac{1}{2 (5)} \cdot 8$

Paso 4.4.2

Factoriza $2$ de $8$ .

$x = \frac{x}{10} + \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 4)$

Paso 4.4.3

Cancela el factor común.

$x = \frac{x}{10} + \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 4)$

Paso 4.4.4

Reescribe la expresión.

$x = \frac{x}{10} + \frac{1}{5} \cdot 4$

Paso 4.5

Combina $\frac{1}{5}$ y $4$ .

$x = \frac{x}{10} + \frac{4}{5}$

Paso 5

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.1

Resta $\frac{x}{10}$ de ambos lados de la ecuación.

$x - \frac{x}{10} = \frac{4}{5}$

Paso 5.2

Para escribir $x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{10}{10}$ .

$x \cdot \frac{10}{10} - \frac{x}{10} = \frac{4}{5}$

Paso 5.3

Combina $x$ y $\frac{10}{10}$ .

$\frac{x \cdot 10}{10} - \frac{x}{10} = \frac{4}{5}$

Paso 5.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x \cdot 10 - x}{10} = \frac{4}{5}$

Paso 5.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.1

Mueve $10$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{10 \cdot x - x}{10} = \frac{4}{5}$

Paso 5.5.2

Resta $x$ de $10 x$ .

$\frac{9 x}{10} = \frac{4}{5}$

Paso 6

Multiplica ambos lados por $10$ .

$\frac{9 x}{10} \cdot 10 = \frac{4}{5} \cdot 10$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.1.1

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 7.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 x}{10} \cdot 10 = \frac{4}{5} \cdot 10$

Paso 7.1.1.2

Reescribe la expresión.

$9 x = \frac{4}{5} \cdot 10$

Paso 7.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.1

Simplifica $\frac{4}{5} \cdot 10$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 7.2.1.1.1

Factoriza $5$ de $10$ .

$9 x = \frac{4}{5} \cdot (5 (2))$

Paso 7.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$9 x = \frac{4}{5} \cdot (5 \cdot 2)$

Paso 7.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$9 x = 4 \cdot 2$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$9 x = 8$

Paso 8

Divide cada término en $9 x = 8$ por $9$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $9 x = 8$ por $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{8}{9}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 x}{9} = \frac{8}{9}$

Paso 8.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{8}{9}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{8}{9}$

Forma decimal:

$x = 0.\overline{8}$